球谐函数法修正水平式经纬仪指向误差

　　1 引 言

　　水平式经纬仪采用水平式两轴跟踪转台， 对高仰角目标具有非常好的跟踪特性， 因此被广泛用于航天器轨道测量、 行星跟踪等领域[1-2]。 其跟踪目标距离设备一般在几百千米以上， 要求水平式经纬仪的指向精度往往要高于传统的地平式经纬仪指向精度，一般控制在数秒之内， 而目前机械加工精度以及光机结构的装调精度无法满足该精度要求[3]　， 因此， 建立指向误差修正模型、 结合星体标定法、 清除设备的系统误差是保证经纬仪跟踪测量性能的关键。

　　2 指向误差修正模型原理

　　由于制造、 装校精度的限制， 经纬仪轴系、 编码器安装等存在微小的误差， 使得经纬仪的指向与实际方向存在偏差。 上述原因引起的偏差均为系统误差， 在测量条件确定后， 这些偏差在客观上与经纬仪的姿态有一个固定的函数关系。 用 L、 B 表示水平式经纬仪的经角及纬角， 则其指向误差可表示为

　　在经纬仪的星体标定实验中， 通常以残差 (观测值与拟合值之差) 的标准偏差来表示修正后经纬仪的指向精度， 则经纬仪在经角、 纬角方向的指向精度与总指向精度的关系为：

　　3 球谐函数模型

　　球谐函数法不同于基本参数法， 球谐函数法基于数学的角度来描述经纬仪的指向误差， 即利用球　函数对定义在球面上的函数展开成傅立叶级数的形式， 并用展开后的函数来逼近由星体标定所得的一系列指向误差的离散值， 从而获得一个连续的指向误差模型。 因此， 球谐函数模型的系数不具有物理意义， 但展开后的模型中含有关于自变量的高阶项，因此， 球谐函数模型能够很好地描述轴系误差、 编码器误差等系统误差与经纬仪指向误差的复杂的非线性关系。

由式 (1)、 式 (2) 可知， 经纬仪视轴在经角、 纬

　　4 实验分析

　　在星库中选择分布较为均匀的 45 颗恒星进行观测，得到恒星在对应时刻的理论值 L0、B0和观测值 Lm、Bm， 从而得到经纬仪对应于 45 颗恒星位置的指向误差。 采用最小二乘法对式 (16)、 式 (17) 进行拟合，得到球谐函数模型中的待定系数， 见表 1。

　由式 (5) ~式 (7) 得到拟合前后经纬仪在经角、纬角方向的指向精度与总指向精度， 见表 2。图 2、 3 直观地表达了修正前后经纬仪指向误差的大小， 其中横坐标为测量数据组的序列号， 纵坐标为经纬仪指向误差的大小。 “+” 为指向误差测量值， “*” 为指向误差拟合值， “o” 为拟合残差值。从图中可看出， 经纬仪指向误差的观测曲线与拟合曲线吻合得较为理想， 说明本文球谐函数模型较好地描述了水平式经纬仪指向误差的变化规律， 能够基本清除设备的系统误差。