一种基于区域搜索的平面度误差评定方法

　　我国颁布的国家标准GB/T 1958-20045产品几何量技术规范(GPS)—形状和位置公差检测规定6中规定,平面度误差是包容实际平面或实际平面任何一个指定范围,且距离为最小的两理想平行平面之间的区域,即平面度误差的评定结果必须符合最小条件.目前,平面度误差的评定常用的方法有两种:一种是近似评定法,如三点法、对角线法和最小二乘法等;另一种是最小区域法.为了得到平面度误差的精确最小域解,很多学者提出了各种不同的算法.如Cherahi等[1]提出了对平面度误差算法,通过对点集进行旋转平移,得到平面度误差. Lee[2]提出了凸壳边的算法(Convex Hull Edne Method,CON-HEM),对凸壳第i条边把三维的凸壳投影到垂直此边的平面上,求出二维凸壳的最小宽度Ti,对所有边都进行处理后的平面度误差即为最小Ti1这个算法的时间复杂度为O(n2logn)(n为测点数).薛小强[3]根据平面度最小域误差的一个等价量—点集的宽度与自身的Minkowski差的凸壳内半径,提出了一种计算平面度误差的精确几何算法.张之江等[4]提出了有序判别法.本文在区域搜索的基础上,提出一种平面度误差评定方法。

　　1 最小二乘法

　　最小二乘法[5]的基本原理是,测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和最小的条件下求出.对于平面度误差的最小二乘法评定,关键在于根据测量采样点的数据拟合出最小二乘平面.(xi,yi,zi),i=1,2,,,n为被测实际平面的测量采样点数据.设规范化最小二乘平面方程为

　　其中,A,B,C为待求系数,残余误差为

　　而最小二乘法的目标函数为

　　其约束条件为

　　要满足约束条件,必须有

　　从而求得A,B,C,得到被测平面度误差的最小二乘法评定结果为

　　将测量采样点数据代入式(2),可得平面度误差的最小二乘评定结果为13.4Lm.

　　2 最小包容区域评定方法

　　对于给定平面度误差评定而言,最小包容区域是指包容实际平面,且具有最小宽度的两平行平面之间的区域.因此,平面度误差的最小包容区域评定方法[6]的关键,在于如何根据被测实际平面的提取平面(即采样点),获得满足最小包容区域的理想平面.

　　下面以给定平面度误差的评定为例,介绍基于搜索逼近的最小包容区域评定法的原理与实现方法.设(xi,yi,zi),i=1,2,,,n为给定平面内的采样点坐标值,Ax+By+Cz+D=0为最小二乘法确定的理想平面。其中,A,B,C可根据式(1)求得,满足最小包容区域的理想平面可以利用搜索逼近法求得1搜索逼近法的基本思路是,以最小二乘平面为搜索起始平面,以搜索起始平面的法向量为基准,以法向量角度的变化为搜索步长,通过平面法向量的转动达到平面的转动,在一定的搜索范围内搜索满足最小包容区域的理想平面1然后,由此理想平面为基准计算平面度误差的评定结果.