基于伪刚体模型的柔顺簧片性能分析

    0　引言

    柔顺簧片机构的优点是无机械摩擦、无需润滑、灵敏度较高。其线性范围可达微米级,分辨率可达亚微米级[1]。在精密微动机构中,柔顺簧片装置是进行精确位移的关键部分,它不仅确保机构可靠地承受外载荷,而且是影响机构性能的最主要因素[2]。柔顺簧片机构在精密加工及测量领域中得到广泛关注和应用。

    由于柔顺簧片在微动机构的执行过程中呈非线性,使其建模复杂,难于精确求解。但是随着当今对微动机构运动精度要求的不断提高,故对此机构性能的研究分析就较为必要。目前柔顺机构的主要研究方法有伪刚体模型法[3]227[4]、拓扑优化[5]以及有限元法[6]等。考虑柔顺簧片机构的变形特征,我们提出基于柔顺体的伪刚体模型[3]277,建立柔顺簧片机构的动力学方程,并通过实例验证该方法的可行性。

    1　柔顺簧片的伪刚体模型

    为了简化柔顺簧片的变形情况,建立其伪刚体数学模型。设柔顺簧片有效工作长度为r,如图1所示为一段固定、另一端受载的变形情况。将柔顺簧片等效为伪刚体,虽存在变形时的几何非线性,但在一定容差范围内,认为其端点的运动轨迹近似等效。设在载荷F的作用下转角为,且柔顺体长度为r,端点坐标为N(x,y)。如图2所示为在此载荷作用下柔顺簧片的等效伪刚体模型。且假设在此载荷F的作用下,其等效前后末端点N的位置和姿态相同。 

    对于柔顺簧片机构,应用Bernoulli-Euler方程得到作用力与挠度的关系,可求得柔顺簧片的曲线方程为

    由簧片机构的伪刚体模型可知,则在N(x,y)端点处位姿为xl=rcos;yl=rsin;θl=cθ

    曲率k可表达为

    式中,为末端点的特征转角;cθ为转角系数;r为伪刚性杆的特征长度;可通过定义系数ψ<1,使得特征长度为ψr;λ为载荷方向系数。

    依据以上研究结果,根据的取值范围要求,需进行如下误差分析   

    式中,Δζe称为相对误差率;ζe是通过数值积分法得到挠度的近似值,则有ζe2=(r-x)2+y2,ζe即为柔顺簧片伪刚体计算得到的位移值。公式4

    则相对误差率表达为

    同时柔顺簧片弹性系数K可表示为

    由上述公式可知,我们基于伪刚体所建立的柔顺簧片机构模型,具有如下特点:曲线方程及曲率表达式与柔顺簧片的特征长度r、特征转角有关;而与所受载荷、端点位姿等无关。显然我们在考虑柔顺簧片变形对机构性能的影响,因此所建立的力学模型更能表达其动力学特性。