相移器平移误差与倾斜误差不敏感相移新算法

　　1　引　　言

　　相移干涉术[1]中,常以PZT等器件驱动干涉仪参考镜沿参考臂移动,从而得到之间存在相移的多幅干涉图;并利用相移算法,求解被测波前的位相分布。而传统相移算法中,大多以确知相移量为前提条件。因而,相移器的位移与导向误差必然会大大影响位相分布的求解精度。与此不同,一些算法将相移量作为未知量进行求解,从而消除其误差的影响。例如,作为传统算法之一的Carré算法利用四幅等步距相移干涉图,求解位相的精确解;而C. J. Morgan[2]利用四幅以上等步距相移干涉图,求解相移量与位相的最小二乘解。二者均可消除相移线性误差的影响。更进一步,Katsuyuki Okada等[3]以及In-Bok Kong与Seung-Woo Kim[4, 5]从同一幅干涉图诸像素相移量相等这一认识出发,可求解各幅干涉图各自的相移量,以及被测波前位相的最小二乘解。其中,以交替求解相位分布与相移量的迭代过程,使其算法简便易行。但由于相移器存在导向误差,必然导致相移过程中的参考镜不能平行于其初始位置,即参考镜倾斜。致使同一幅干涉图诸像素相移量并不相等,产生相移倾斜误差。因此,文献[3-5]中的算法并不能完全消除包括倾斜误差在内的相移误差的影响。

　　本文认为,由于相移器导向误差导致参考镜倾斜,使同一幅干涉图诸像素相移量虽不相等,但仍位于同一平面上。由此提出一种新的迭代算法,通过对此平面的最小二乘拟合,大大减小参考镜倾斜在位相求解结果中引入的误差。

　　2　基本原理

　　2.1　位相最小二乘算法

　　图1所示的Twyman-Green干涉仪中,以PZT驱动参考镜移动而引入相移。若PZT器件存在导向误差,则导致参考镜倾斜。此时,可将第n幅干涉图中(i,j)像素光强表示为

　　其中,I0为背景光强,r为对比度,φ为待测位相,δn为相移量。δn可表示为

　　式(2)为一平面方程,可称此平面为相移平面。其中an与bn分别为相移平面沿i,j方向的斜率,dn为(0,0)像素的相移量。

　　定义光强差为

　　由a1=b1= 0,d1= 0 ,及三角公式可得

　　针对某一像素(i,j),若已知各幅干涉图的an、bn、dn值,将其代入式(4),形成线性方程组,求取C(i,j)与S(i,j)的最小二乘解,则其位相为

　　2.2　相移平面最小二乘拟合算法

　　由于an、bn数值微小,因而可将式(4)近似为

　　整理式(6),可得

　　对第n(>1)幅干涉图,若已知各像素的C(i,j)与S(i,j)值,将其代入式(7),形成线性方程组。求取An、Bn、Dn、En、Fn、Gn的最小二乘解,进而可确定an、bn、dn值