用最小二乘法提高CCD干涉计量的精度

　　1　引　言

　　将CCD用于光学计量的干涉解析法、位相扫描法、外差法、FFT法以及积分法[1]等相继有报导采用。针对光计算中起光互联作用的多光束等光强分束器的槽深检测,本文采用的是干涉解析法[2]。此时测量精度主要受到CCD光敏像素尺寸及图像卡空间分辨量化误差(以下称图像量化误差)的影响。文献[3][4]提出的调制与内插细分方法,不适用于干涉计量的特点,对　　精度提高不利。本研究用最小二乘法对干涉条纹分布做曲线拟合,提高了条纹中心的定位精度。

　　2　系统组成及检测原理

　　系统组成如图1,图2是被测样品表面形成的干涉图样。设双光束波面分别为

　　其中直流成分a(x),交流成分中的振幅b(x)及两波面相差Φ(x)分别为:

　　若测得最适条纹间距f及因样品表面凸凹面(光栅刻槽)引起的条纹错位Δf(见图2),则与位相差Φ(x)对应的波面偏差(槽深)w可由(7)式求得:

　　式中λ为单色光源波长,n(=2)为光束通过样品次数。显然w的测量精度决定于Δf和f。由(3)式表示的干涉图光强为余弦分布(图2)没有清晰边界,直接通过干涉仪目视定位条纹中心精度受到限制。采用CCD图像处理技术,是提高测量精度的有效方法[2]。但是由于图像量化误差的影响,限制了该方法测量精度的进一步提高。

　　3　曲线拟合的最小二乘法及精度分析

　　如何根据测得的离散数据,推断出任意位置的数据?对带有测量误差的数据,插值法的结果会保留一切测量误差,另外,CCD采集数据的优点是能利用多个数据点,这将引起插值多项式幂次数增高,使得收敛性、稳定性难于保证,逼近的效果也变差,如果采用分段低次插值,又将增大计算量。用最小二乘法做曲线拟合,不要求拟合曲线通过所有离散测量数据点,但要求数据点分布在曲线附近,具有统计平均效果,对减小随机性测量误差是有利的。

　　考虑干涉条纹的一段,(如暗条纹)在一个周期内与抛物线的形状类似,因此可用:

　　对(3)式在一周期内进行拟合。将N组测量值代入拟合方程(8)中,用S(a0,a1,a2)表示各数据点函数值f(x)与(3)式I(x)值之误差的平方和:

　　取各数据点权函数值为1,最小二乘就是使(9)式为最小。即:

　　(10)式的解为正则方程式[6]:

　　其中∑求和从i=0到i=N。用消去法解此线性方程组,即可求得a0,a1,a2。条纹中心在光强分布极小值处, 令 得干涉条纹中心坐标:

　用Δx表示x的误差,根据(13)式和误差传递规律应有: