关节臂式坐标测量系统的数学模型和参数简化

　　0　引言

　　传统的三坐标测量机作为一种高效的精密测量仪器是先进制造技术的重要组成部分。它测量范围大、精度高,易与柔性制造系统、计算机集成制造系统相连接,因而它在机械制造、电子、汽车和航空航天等工业中有极广泛的应用。但是,传统的三坐标测量机也同时存在结构复杂,测量范围受直线导轨大小的限制,造价昂贵等缺点。

　　在生产和科学研究的实践中,越来越多的场合需要结构简单、体积小、精度高、价格低廉、安装简单、易于操作、能够在现场方便地探测工件或机器的各种部位的大量程的便携式三坐标测量系统。多个关节臂的柔性的三坐标测量机能较好地满足这一要求。与传统的三坐标测量机相比关节臂式坐标测量机具有机械结构简单、体积小、重量轻、测量范围大、灵活方便、造价低、可以将测量机移到现场进行测量等优点,但是测量机末端测头中心坐标与各关节转角的关系比较复杂,因此建立其数学模型就显得尤为重要。

　　1　理想数学模型

　　关节臂式柔性三坐标测量机可以看成是6个转动臂和1个测头通过6个旋转关节串联连接,如图1所示。图中1是携带测量软件的计算机,3至8分别表示系统的6个关节,一端固定在基座2上,测头9可在空间自由运动,构成了一个半球形测量空间。为了研究各个关节臂之间的位置及姿态关系,可在每个关节臂上固定一个坐标系,然后描述这些坐标系之间的相互关系。

　　1955年Denavit和Hartenberg提出一种通用方法(以下简称DH参数法),用一个4×4齐次变换矩阵描述两个坐标系之间的空间关系。DH参数法规定,将第i个坐标系中的点的坐标转换到第i-1个坐标系的齐次转换矩阵通式可表示为:

　　式(1)中,表示第i个坐标系的原点在第i- 1个坐标系中的坐标。N=表示第i个坐标系的X轴相对于第i-1个坐标系的三个坐标轴的方向余弦; O=表示第i个坐标系的Y轴相对于第i-1个坐标系的三个坐标轴的方向余弦; A=表示第i个坐标系的Z轴相对于第i-1个坐标系的三个坐标轴的方向余弦。

　　为了保证数学模型的直观且简单,可以定义系统的初始位姿(即所有关节角的角度为零时)如图2所示。图中Zi(i=0~6)为回转轴,竖直回转轴的正向向上,水平回转轴的正向向右。理想情况下设定Zi与Zi-1两两垂直相交,所有坐标系的Xi轴同向,Yi向遵从右手定则。定义di-1是将Oi-1移到与Oi重合时需要沿Zi-1轴方向移动的距离,θi-1是测量过程中第i个臂绕其回转轴Zi-1转过的角度。设关节1上的坐标系{ O1X1Y1Z1}相对于固定坐标系{O0X0Y0Z0}的转换矩阵记作T01,关节臂2的坐标系{O2X2Y2Z2}相对关节臂1坐标系{O1X1Y1Z1}的转换矩阵记作T12,则坐标系{O2X2Y2Z2}相对于固定坐标系{O0X0Y0Z0}的转换矩阵是T01和T12的乘积,记作T02。依此类推,设测端P在坐标系{O6X6Y6Z6}中的位置P(x6,y6,z6),那么它在固定坐标系{O0X0Y0Z0}的坐标可以通过T06=T01T12T23T34T45T56求得。