四点测球法在球坑自动检测中的应用

　　1　引言

　　在在线、自动检测系统中,球坑的测量一般采用包容法。而在需精确测得球坑半径的数值时,包容法显然不能满足要求。为此,需要探索既能满足要求而又简单实用的方案。本文在分析了四点测球法理论模型的基础上,提出了两种不同的四点测球方案,通过分析、比较,最后确定出实际测量方案。

　　2　四点测球法理论最优方案

　　空间要确定一个球,必须有四个参数,即球心坐标(a,b,c)和球半径R。对应地要已知球面上四个点的坐标才能建立四个方程,构成一个方程组。因此,为了实现球参数的测量,至少要建立四个测量点,即所谓四点测球法。

　　由于任何测量系统都存在误差,所以由实测的四点Pi得到的球半径存在测量误差δR。设x,y,z三个方向上的测量误差均为±Δ,根据误差理论有:

　　由式(3)可知,球半径的测量误差与各点坐标测量误差有关,可以通过合理布置测量点的位置,使球半径测量误差达到最小,即存在最优方案。理论分析表明,若被测球为标准球,当Pi(i=1,2,3,4)四点在空间构成正四棱锥时,测得的球半径误差最小[1],如图2所示。此时,δR=±Δ/2。

　　3　球坑测量方案的讨论

　　3·1　“三加一”方案

　　测量对象为半球坑,图2的方案显然不可能实现。但受其启发,可采用3+1的形式,即三个测点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ布置在同一圆截面上且互成120°另一个测点Ⅳ布置在球顶点。如图3所示,称之为“三加一”方案。

　　可以设想,测量时,由1、2、3、4组成的测杆机构在气缸的推动下向下推进,直到死挡块限位时为止。设测杆中心O的坐标为(0,0,0),并以它作为坐标原点,计算对应的被测球的球心P的坐标(a,b,c)和球半径R。设测点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ到O点的距离分别为r1、r2、r3、r4。则在如图的坐标系中,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的坐标分别为:

　　将以上各点坐标代入式(1)、式(2),解方程组可得a,b,c,R的值。由于被测球坑采用成形铣刀加工,该球坑“赤道平面”附近区域加工质量好,而在“极地”附近区域加工质量较差。因此,该方案中测点Ⅳ的选择就不太理想。

　　同时,在确定各测点坐标时,是采用测头的相对位移加上原来各测点到O点的绝对长度得到的(见图3)。O点是测头4所在轴线与测头1、2、3所在平面的交点。而要精确测出各测头到O点的绝对长度也是比较困难的,尤其当被测球坑半径较小时更难实现。

　　3·2　“二加二”方案

　　通过对“三加一”方案的讨论,针对其不足,引发出“二加二”方案[2]。该方案将四个测点布置成二二对称的2+2形式,并使两组测点分别位于不同的水平面上,如图4所示。测点1和2同在一个平行于“赤道平面”的圆截面上,3和4在另外一个圆截面上。图中虚线所示为各测头球心的轨迹,由于测量时保证各测点均与球内壁相接触,当测头半径为r时,被测球面与各测头球心的轨迹是两个半径差为r的同心球面。于是,对被测球面的测量就转化为对各测头球心轨迹的测量。同样根据四点测球原理,只要测得与球内壁接触的四测头的球心坐标,那么代入式(1)和式(2),即可计算出被测球坑的参数a、b、c、R。