有阻尼结构线性振动系统的模态综合

　　有阻尼结构线性振动系统可经过变换到状态空间进行解耦,这就是通常的复模态法,最先由Foss提出[1],由Caughey和O' kelly,朱德懋和张阿舟,Liu和Wilson,以及Caughey和Ma作了进一步发展[2～5]。对于N阶的系统方程,由这种解耦方法得到的方程为2N个复系数的独立一阶微分方程,此时的方程形式已不具有原系统方程的形式,复系数也没有具体的物理意义。这样的形式也影响到在此基础上发展得到的复模态综合技术[6～13]。虽然后继的发展可以给出实系数的方程[14],但仍无法同时得到子结构的刚度、阻尼和质量矩阵。

　　本文在文[15]给出的一种新的模态变换进行解耦还原变换的基础上,构造了一种新的模态综合方法,得到子结构降阶后的刚度、阻尼和质量矩阵。综合得到的整体方程仍是时域中的实系数二阶振动方程。

　　1　基本方程和解耦还原变换

　　有阻尼离散振动系统的运动方程为二阶常微分方程

式中M,C和K分别为N阶的质量矩阵,阻尼矩阵和刚度矩阵,u和f分别是广义位移向量和载荷向量。

　　按常规方法,可变换到状态空间。在状态空间中,可引入实域运算的解耦还原变换[15]

　　把阶次为N的原系统方程解耦为N个独立的二阶方程。其中x是系统的状态空间向量,Φ1和Φ2是重新组合后的系统模态向量矩阵,和原状态空间的模态矩阵Y和Y-有如下的变换关系

式中S是对角的特征值矩阵,S-是其共轭矩阵。解耦后的系统方程可还原变换为

　　比较系统原有的方程,不妨可认为经过这一新的模态变换以后,系统解耦后的质量矩阵为单位矩阵,阻尼矩阵为-S-,而刚度矩阵为S。此时仍有明显的物理含义,可定义为系统的模态质量、模态阻尼和模态刚度矩阵,为对角矩阵形式,每一组对角元素对应于一阶模态。

　　2　物理-状态混合空间中的实模态综合技术

　　考虑一子结构,其控制方程可以分块写为

　　这里下标1相对于界面部分自由度,2是内部自由度部分。取v2=作为一个变换,这样式(7)就可以变换到一个物理-状态混合空间的坐标体系中

　　由计算得到的复模态向量矩阵,可构造新的模态变换矩阵(3)。这样在混合空间里,可构造如下的变换

　　假设M21=0,M12=0。此假设对应于结构离散时采用集中质量的情形。一般情况时,可进行变换处理,使变换后的系统矩阵中,这部分分块矩阵为零矩阵。这样就有

　　至此就得到了子结构经过降阶后的质量、阻尼和刚度矩阵。由这样的子结构,可以很方便地综合成为整体结构的、经子结构模态变换降阶后的整体结构的系统方程,而综合后的整体方程是时域中的实系数二阶振动方程,具有与原方程类似的形式。降阶后综合得到的结构整体方程的规模取决于每个子结构在变换关系式(10)中所保留的内部模态的数量。