纵横载荷联合作用下弯曲薄板的功的互等定理

　　一、引言

　　弹性薄板的纵横弯曲问题在工程中有着重要的实际意义。例如，船舶、航空航天结构中所应用的板，通常是既承受平面力，又承受横向载荷。当中面力为 零时，纵横弯曲问题可简化为只承受横向载荷的薄板弯曲问题。当横向载荷为零时，该问题又可简化为薄板的稳定问题。由此可见，薄板的纵横弯曲问题对于其他薄 板问题的求解具有一般性。

　　功的互等定理是弹性力学中的一个著名定理，近年来，应用功的互等定理求解弹性力学问题已经逐步形成了一种系统的方法。[1]本文首次将功的互等 定理应用于边界条件不同的两个薄板系统之间，进行了严格的数学证明，并给出了简洁的数学表达式。将该定理进行推广，可用于求解弹性薄板的弯曲问题和稳定问 题。

　　二、纵横载荷联合作用下弯曲薄板的平衡微分方程

　　考虑在横向集中载荷 q 和中面力 Nx、Ny、Nxy联合作用下的薄板，假设不存在平行于板面的力，且不考虑体力的作用，参考文献[2]，其平衡微分方程可表述为

　　三、纵横载荷联合作用下弯曲薄板的功的互等定理

　　该定理可以表述为：对于形状、大小和材料均相同且处于真实状态的两个弯曲薄板，不管它们的中面力和横向载荷是否相同，也不管它们的边界条件是否相同，在此两系统之间有如下关系存在：

　　式中：Q1n、M1ns、M1n分别为第一系统的等效边界切力、等效边界扭矩和等效边界弯矩。

　　Q2n、M2ns、M2n分别为第二系统的等效边界切力、等效边界扭矩和等效边界弯矩。

　　四、定理证明

　　我们考虑满足上述条件的两个弯曲薄板系统。第一系统以下脚标 1 表示，第二系统以下脚标 2 表示，并注意到：

　　则(2)式左端第一项可变形为：

　　对(2)式左端后三项进行运算：

　　同样道理，对(2)式的右端作类似的变换，容易得到该式也等于(6)式的右端，即功的互等定理得证。

　　五、小结

　　观察纵横载荷联合作用下弯曲薄板的功的互等定理的数学表达式(1)，若式中中面力为零，则此定理即为横向载荷作用下弯曲薄板的功的互等定理。若两系统之一的中面力为零，而另一系统的中面力不为零，则该定理可用于求解薄板的稳定问题。

　　参考文献：

　　[1] 付宝连. 弯曲薄板功的互等新理论[M]. 北京：科学出版社，2003.

　　[2] S·铁摩辛柯，S·沃诺斯基. 板壳理论[M]. 北京：科学出版社，1977.

　　[3] 朱敬举. 弹性矩形薄板稳定问题的广义位移解[D]. 燕山大学硕士学位论文，2001.