利用差分法的简易迭代程序模拟平面弹性力学

    ０　引言

    当今计算机技术发展迅速，我国的工程分析软件发展处于落后状态，并且交叉学科的应用技术也很浅薄。程序设计作为一种重要的研究手段往往在博士学习阶段才会被重视，并被视为一种高难度的工作。这实际上是不应该的。

    在机械中通常用有限元法进行结构力学分析，并能做到形变的模拟。此方法是将一个连续的弹性体离散化，将其看作由弹簧单元组成的网格体，并根据载荷—位移关 系联立方程组求解。其步骤为网格划分、生成方程组、迭代计，这些数学过程的实现都是繁琐的。节点的数据存储、方程组的描述占用较大的存储空间，按部就班地 开发求解器也耗时耗力。所以，针对平面弹性力学问题，可以对有限元法的分析过程进行重新设计，其中最主要的是利用差分法将问题大幅简化，使其能够轻易地设 计迭代程序来实现问题的求解和数值模拟。

    一个连续体就可以利用最简单的差分法来进行离散。差分公式的推导多种多样，且大部分是有针对性的，并不通用。为了得到对大多数问题具有通用性、适合程序设计、数据结构描述方便的差分方程数学模型，这里引用“节点领域”的平衡条件推导差分方程的方法。

    １　位移平衡方程

    为了方便数据对形体的描述，将一个均匀材质的平面弹性体假设为无数个微小正方形单元组成。每个节点作为待定节点，与周围的节点存在一定的位移平衡关系，这 也是一个差分方程所描述的意义。根据离散的情况，节点位移平衡方程有４种类型，其中有３种边界上的类型（图１）。

    下面列出通过“节点领域”的平衡条件推导差分方程所得到的结果。原方程变换整理为矩阵形式。

    其中，Ｅ为弹性模量，ν为泊松比，ｆ为体力。

    （２）一般边界如图３所示，有４个方向，ｘ、ｙ轴方向与图２相同。

    其中，（ａ）（ｂ）所示方向的位移平衡方程为

    其中，ｔ为载荷。

    由于对称性，它们的差分方程相同，但节点位置不同，下面也同样。（ｃ）（ｄ）为

    以上就是４种情况下所需要的节点间关系的描述方程。

    ２　迭代计算

    以梁弯曲问题为例，见图６。有３种平衡方程类型，其中②和③有４个方向。

    首先，描述节点的数据，以Ｃ＋＋为例，代码如下：