圆度误差测量的数学模型及数据处理

    0　引　言

    国家机械工业委员会在文献[1],[2]中规定了圆度测量误差值的基本评定方法为①最小区域法,并指出了② 最小二乘圆法、③最小外接圆法和④最大内接圆法等为几类常见近似评定方法.本文对前三种近似方法进行分析研究,建立了广义数学模型,并详细介绍了其推导过程[3]和测量数据的处理方法.该结果将实际工作中以较广泛的应用性而具有一定的价值.

    1　最小二乘圆法数学模型的建立

    如图1所示,最小二乘圆是实际轮廓上各点到该圆距离的平方和为最小的圆.以被测实际轮廓的最小二乘圆作为理想圆,其最小二乘圆圆心至轮廓的最大距离之差即为圆度误差.

    用xi和yi表示实际廓线上的点,设实际廓线上的原点为O′,最小二乘法圆的中心为O,其坐标为(ai,bi);半径为R,由几何关系和公式推导可得:

    式中ri-被测实际轮廓上各点至坐标原点O′的距离.

    被测实际轮廓上各点至最小二乘圆圆心的距离为:

　　Ri=ri- (aicosθi+bisinθi)

    利用计算机编程计算时,首先用对话式输入采样点数n,基本半径R′,读数$ri,计算出被测实际轮廓上各点至测量中心即坐标原点O′的距离

ri=R′+Δri, (i= 1,2,…,n)

    代入公式,即可分别计算出ai,bi,R以及Ri的值,最后利用排序的方法找出Ri中的最大值Rimax和最小值Rimin,则根据定义,最小二乘圆法的圆度误差:

f1=Rimax-Rimin

    2　最小外接圆法数学模型的建立

    最小外接圆法,是以与实际轮廓相接触的最小外接圆作为圆度误差的评定基准,其圆度误差值为外接圆半径R与实际轮廓上各点至最小外接圆中心的最小半径Rmin之差,即:

f2=R-Rmin

    判别最小外接圆的准则有两个:

    ①外接圆与误差曲线有三点接触(三角形准则),如图3所示

    ②外接圆与误差曲线上两点接触,且两点连线通过圆心(直线准则)如图2所示.

    首先用直线准则判定,并在最小二乘法基础上,求出各Ri-R> 0点中的峰值点和Ri-R< 0峰谷点,如图2所示.再从峰值点中求该点与其相差120°～270°间各点的弦长:

    用排序法求出Lmax并验算H2-H1是否为180°,若为180°,则最小外接圆半径为:

R=Li/2 = [(x2-x1)2+ (y2-y1)2]^1/2/2

    其圆心坐标:

  xc= (x1+x2)/2 ,yc= (y1+y2)/2

    若θ2-θ1不为180°,则求各点至圆心的距离.其中必有一个点的距离为最大且大于Li/2 ,则以此点及最大弦长两端点圆,则此圆将各点包容在内,该圆为最小外接圆.该方程根为