截顶圆锥壳体的自由振动分析

　1　引言

　　工程中的许多结构，如雷达罩、潜艇耐压娓舱段都可简化为截顶圆锥壳体。因此，许多学者对截顶圆锥壳体的基本振动特性作了大量研究:Sauuder, Carnet和Kempner, Newton等人用Rayleigh-Ritz法，Goldberg,Kalnins等人用数字积分法，Irie等人用传递矩阵法，Sen , Gould , U eda等人用有限元法对各向同性圆锥壳体进行了自由振动分析^〔1）; T ong等人用Donnell型古典壳体理论对各向异性圆锥壳体的自由振动和屈曲问题进行了分析^〔2〕。

　　本文将基本Donnell型壳体理论的几何、物理和平衡方程，导出截顶圆锥壳体的自由振动方程，然后用幂级数展开法探讨方程的求解形式，并根据文献资料讨论材料各向异性、壳体变厚度、壳体受轴向力等对振动特性的影响。最后，通过模型试验用模态分析方法给出一加肋截顶圆锥壳模型的自由振动形式。

　　2 自由振动方程

　　设一截顶锥壳小、大端半径分别为a}.az，母线长为l，壳厚为h，半锥角为a，质量密度为P，坐标s,B,z分别代表圆锥壳的母线方向、圆周方向和中面法线方向，相对应的位移分别为u,v,w(图1),若采用Donnell型壳体理论，则有:

　　2. 1几何方程

　　2. 2 物理方程

　　2 .3 平衡方程

　　式中p为材料密度。

　　将式(z>代入式(3),经过复杂的数学演算，即得到锥壳的自由振动方程:

　　通过观察，截顶锥壳的自由振动方程有如下基本性质:

　　(1)由于半锥角a的存在，使壳元本构方程中出现拉弯藕合项，使得方程(1),(2).(4)的阶次不同，而且方程(1),(2)系数项是可变的，因而难于求得其精确解，故方程(4)大都采用数值解法。

　　(2)当则式(9)转化为半径为R的各向同性圆柱壳振动方程。

　　(3)若取则式(4）转化为半径为R的各向同性圆平板的振动方程。

　　(4)求解方程(4)时，必须借助边界条件。即:

　　3 方程求解

　　设方程(4)的解有如下幂级数展开形式:

　　式(5)中n为壳体周向振动波数，am,bm,c，为未知常数。为了简便，假设m=0，并以s²Sin²a乘方程(4)前二个等式，以s⁴sin⁴。乘方程(9)第三个等式，将方程(5)代入方程(9)，按x同次系数相等可得以下几何方程:

　　系数G,,是由E,G,v,h,p,a等壳体参数和频率。所组成的，这里不给出详细形式。方程(6),(7),(8)给出8个未知系数a_o,ab_o,bc_o,cc_z,c₃的关系。如果再运用两端的8个边界条件，通过解一个8X8阶行列式求得壳体自由振动频率和这8个系数。