周边简支厚圆板受偏心集中力弯曲问题的Fourier级数解

　　1 基本微分方程和边界条件

　　设圆板半径为R,厚度为h,周边简支,在极坐标为(Rζ,0)(0≤ζ≤1)的点处受集中力P的作用。

　　Reissner型厚圆板在极坐标下以无量纲变量Q=rR表示的基本微分方程为:

　　E为弹性模量,μ为Poisson比

　　则基本微分方程(1)-(3)化为:

　　各内力素和广义位移以ω和ψ表示的表达式为:

周边简支的边界条件为:

　　问题化为在边界条件(14)、(15)、(16)下求解基本方程(7)、(8)式。

　　2 函数X,7的Fourier-Bessel级数形式

　　由(17)式可得

　　由(20)式可得

　　3 载荷(偏心集中力)的级数形式

　　4 各待定系数的确立

　　1）.考虑方程(8):

　　把(19)和(22)式代入(8)式,比较等式二边的系数,可得

　　2）.考虑方程(17):

　　把(20)和(21)式代入(7)式,并把其中的Qm展为Fourier-Bessel级数;

经整理可得:

　　3）.考虑边界条件(14):

　　把(17)式代入(6)式,再代入(14)式,可得到下列方程:

　　4）.考虑边界条件(15):

　　把(17)、(18)和(20)式代入(9)式,再代入(15)式,并注意到(23)、(24)式,可得下列方程:

　　5）.考虑边界条件(16):

　　把(17)、(18)和(20)式代入(11),再代入(16)式,注意到(23)、(24)式,可得:

　　联立求解(25)、(26)和(27)式,得到Am,Bm,Cm的表达式:

　　(28)、(29)、(30)以及(23)、(24)式确定了函数ω和ψ级数中的全部待定系数,把ω和ψ代入(6)式即得挠度W,代入(4)、(5)、(9)、(10)、(11)诸式即得各内力素。

　　5 计算结果

　　周边简支的Reissner型厚圆板在偏心集中力作用下的非轴对称弯曲问题尚无现成的算例可资比较。为此,从下述二个方面考察本文所得到的解。

　　1）.取h/R=0.1,μ=0.3,计算F分别取0.25,0.125和0.001时集中力作用点处的挠度W_p,考察当,非轴对称弯曲y轴对称弯曲时W_p的变化趋势。计算结果列入表1。

　　Reissner型厚圆板受中心集中力作用发生轴对称弯曲时,在μ=0.3,h/R=0.1时的中心挠度值为ω_p=0.1583PR²/PD。

　　本文的解在时,,与已有轴对称弯曲的结果的误差为2.5%。

　　2）.取ζ=0.25,μ=0.3,计算h/R分别取0.2,0.1,0.05,0.01,0.001时集中力作用点处的挠度Wp,考察当,厚圆板弯曲y薄圆板弯曲时Wp的变化趋势。计算结果列入表2。