非保守力作用下可伸长简支梁的过屈曲

    工程实际中存在大量受非保守力作用的结构或构件.例如,储油罐内液体的压力,输油管道中液体粘滞阻力,空中飞行的导弹和火箭受到气体摩擦力等都属于非保守力.有关非保守力作用下结构变形分析比较详细的论述见文[1~4].关于梁(杆)构件在非保守力作用下的静态大变形具体问题的分析和求解可参考Vitaliani[4]、Detinko[5]等人的工作.文[6]中采用非线性有限元法分别计算了受自由端随动集中力作用的悬臂直梁和半圆形悬臂曲梁的平面内弯曲问题,给出了不同载荷参数下的静平衡构形.文[5]则对圆拱在非保守力作用下的弹性稳定性进行了分析,并用数值方法讨论了与文[6]中相同的例子.对于受沿轴线分布随动切向力作用梁的稳定性问题,文献[3]中只作了线性问题的理论分析,给出了载荷特征值.而有关该问题的过屈曲分析还未曾见到有文献报道.因此,本文拟采用可伸长梁(杆)的基本理论[7~9]分析细长简支梁受沿轴线分布切向荷载作用下的过屈曲问题.

    1　问题的控制方程

    考虑一长为l的简支梁,受沿轴线作用的切向均布荷载q(见图1).设梁在过屈曲变形过程中,载荷q的方向始终与轴线相切.因此,载荷q是非保守的.记梁在未变形时的轴线为(x,0),x∈[0,l].梁进入过屈曲状态后的轴线为(x+u,w),其中u(x)和w(x)分别为点(x,0)在x和y方向的位移.假设变形后梁轴线仍在x-y平面内,且变形服从Kirchhoff直法线假设.由轴线可伸长梁的大变形理论[7~10],可得下列基本方程:

几何方程

其中,R为轴线的伸长率(stretching),θ为弹性曲线的切线与x轴正向的夹角,P1、P2分别为横截面上沿水平和铅垂方向的内力,M为弯矩,A、I分别为梁横截面的面积和惯性矩.横截面的轴向内力N可表示为

其中,β为梁的左端转角,这里作为过屈曲控制参数.

    2　数值方法及结果

    由于方程(8~11)是强非线性方程,无法求其解析解.这里采用打靶法[8,9]求其数值解.从分叉理论[10]可知,非线性边值问题(8~12)的线性化问题(β→0)的最小特征值-qcr即为梁失稳的临界载荷.当-q<-qcr时,杆处于未屈曲状态;当-q>-qcr时,杆进入过屈曲状态.方程(8~12)连续依赖于控制参数β的解可以通过解析延拓法获得,从而可得过屈曲状态平衡路径或过屈曲状态全局解.

    数值计算时,使相对误差小于10-5.图2中给出了长细比λ=120的梁在不同过屈曲载荷-q和左端转角β下的过屈曲平衡构形( U+X,W).图3~7中给出了有关物理量与无量纲载荷-q间的特征关

系.图3为左端转角β与-q的变化曲线,图4中给出了右端水平位移的大小d=|U(1)|与-q的关系曲线,图5和图6分别为水平约束力PH=p1(0)和铅垂约束力PV=p2(0)与-q的关系曲线.图7给出了轴线无量纲伸长δ=S(1)-1与载荷-q的关系.由上述结果可见,平衡路径为非单调的,且关于载荷-q为非单值的.当载荷-q由-qcr逐渐增加至-qmax时,曲线β--q, d--q和PV--q呈单调增加趋势.其中-qcr=18.96为临界载荷,这一结果与文[3]中的结果相吻合;-qmax=36.11为所达到的最大载荷值.在曲线PH--q中,当-q=-qcr时端部水平约束力PH达到最大值,并且等于-qcr.另外,由图3~6可以看到,长细比对特征曲线的影响很小.由图7可知,轴线伸长(或收缩)随长细比增大而减小.因此,在细长梁(杆)的过屈曲分析中,轴线伸长可忽略不计.为了分析方便,可假设轴线不可伸长,即R≡1.