桁架结构动力学拓扑优化设计解的存在性探讨

    随着结构优化设计的深入发展,结构拓扑优化设计已成为当今工程领域优化设计的热点,但结构拓扑优化设计大都停留在静力学问题上[1,2]。另一方面,生产与工业技术的进步导致高强度材料、更轻的结构型式的不断涌现,常造成以静力学准则设计的结构的刚度不足;动力环境之中的结构振动问题日益突出。据有关统计资料表明,飞行器所发生的重大事故中,有40%与振动有关。事实上,振动问题普遍存在于工程结构中,因此从60年代开始,结构优化从静力学设计转向动力学设计。然而动力学优化设计则多局限于结构的尺寸、形状优化[3,4]。进行结构的动力学拓扑优化设计,由于拓扑构形的改变,大大拓宽了结构优化的视野,是优化设计中富有挑战性的领域之一。但是,结构动力学拓扑优化设计都是在假设解存在的前提下进行的。对于一般的优化设计问题的解的存在性,很少有人进行探索。文献[5]独特地研究了桁架频率优化解的存在性及其算法,但仅适合于结构的动力学尺寸优化。在工程实际中,人们经常遇到,有些问题的解不存在。为了减少优化的盲目性以及优化计算的代价,事先判断解是否存在显然有十分重要的意义。本文则从一般工程意义上来研究桁架结构动力学拓扑优化解的存在性。

    1　桁架结构优化频率极值存在定理

    文献[5]指出,结构动力学优化设计的关键约束是固频约束,即频率约束决定优化设计是否有解。显然,研究结构频率极值的存在,对结构的优化设计确定频率约束的界限有着非常重要的意义。基于此,为了进一步探讨桁架结构动力学拓扑优化设计解的存在性,本文先从理论上证明结构优化频率的极值存在。

    定理:任何桁架在保持拓扑基本构形不变的情况下,无论怎样修改构件横截面积,结构的固频极值存在。

    证明:所谓基本构形不变,是指构件的删除不会引起节点的删除。极值是指不论如何修改设计变量,桁架结构的固频能达到的最大值(或最小值)。假设平面桁架结构由m个构件组成,每个构件的横截面积、弹性模量、密度及长度分别为Ai,Ei,ρi,li(i=1,2,…,m),对总体坐标而言,杆元素刚度阵keij为

式中:c=cosα,s=sinα(α为杆与水平方向的夹角)。按照节点标数顺序及相应的位移分量标号,将keij对号嵌入得到系统的总刚度矩阵为

其中,,即第r个自由度对应的节点上所有汇交的杆件的质量一半之和,且u与v两方向有相同质量,即m2k-1,2k-1=m2k,2k(k=1,…,n/2)。由系统的自由振动微分方程:

设S∈Rn×n的n个特征值为ω21,ω22,…,ω2n,因为矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹:

　　对于一个给定的桁架结构,n、Ei、ρi和li均为已知参数,且假设ω1 ω2 … ωn,可得到第i阶固频极大值的估计范围