轴对称加载的阶梯式压力容器的径向振动

　　引　　言

　　薄壁压力容器在工程中应用广泛,如:发电厂锅炉汽包、汽轮机转子转鼓、汽缸引出管、储气罐等·　本文讨论承受轴对称径向载荷的阶梯式变厚度圆筒形薄壁压力容器的径向振动·

　　1　自由振动

　　1·1　自由振动微分方程及其通解

　　设有总长为l的薄壁压力容器,其壁厚沿轴向呈n级阶梯式变化,各级阶梯的长度为li=xi- xi-1,各级阶梯内容器的单位面积质量为-mi、厚度为hi、抗弯刚度为=1,2,…,n),E为材料的弹性模量,μ为泊松系数·　

　　在不考虑轴向拉力的情况下,变厚度压力容器径向自由振动的微分方程为[1]

　　式中,w(x,t)为振动的任一瞬时从平衡位置量起的容器的径向位移,K(x) =Eh(x)/R2(x);R = R(x)为容器的平均半径·

　　当壁厚沿x方向呈阶梯式变化时(图1),可将容器的抗弯刚度、单位面积质量及K(x)分别表为[2]

(1.3)

　　式中,n为容器壁厚沿x方向变化的阶梯数;Di,-mi分别为第i级容器的抗弯刚度与单位面积质量;Ki= Ehi/R2i;x0=0,xn= l,〈x-x0〉°=1,〈x-xn〉°=0·

　　当容器各阶梯衔接处的总剪力的总弯矩连续变化时,用式(1·2)~(1·4)及δ函数的性质,可将式(1·1)化为

    此即阶梯式压力容器径向自由振动的微分方程·　

(1.6)

(1.7)

　　为相应于第j个主振型的容器的径向位移·　将式(1·6) ~ (1·7)代入式(1·5),可得以下二方程

　　式中,ωj为容器的第j阶固有频率·

　　方程(2·8)、(2·9)之通解分别为

　　式中,Tj(0),.Tj(0)为函数Tj(t)之初参数,可由振动的初始条件确定; Yj(0) Y′j(0), Y″j(0), Y j(0)为主振型函数Yj(x)的初参数,可由容器的边界条件确定;ψ1~ψ4为影响函数,其定义与分段常数λ4i及D-1i(Ki--miω2j)(i =1,2,…,n)有关,现进行讨论,在下列有关影响函数及其微分关系的讨论中,i =1,2,…,n·

　　上述两种情况下的影响函数之间的微分关系,可统一用下式表示

　　W算子的定义及其运算规则见[2]·

　　将式(1·10)~(1·11)代入式(1·7),再代入式(1·6),便得方程(1·5)之通解,亦即容器径向自由振动的位移

　　1·2　固有频率的求法

　　由式(1·9)可得容器固有频率的表达式

　　具体求频率时,可用表1给出的频率方程

　　1·3　算　　例

　　两端封口的二级阶梯薄壁压力容器(图2),总长l =3 m,两段各长l1=1 m,l2=2 m,壁厚h1=0·01 m,h2=0·005 m,内径d=10 m,材料的弹性模量E=200 GPa,密度γ=7800kg/m3,泊松系数μ=0·3,求其径向自由振动的位移和一阶固有频率·

　　解　容器两端封口,故其主振型函数为