任意作用力下旋转圆盘的动态模型

　　0　引　言

　　过去的三十多年,发表了大量的关于旋转圆盘动力学方面的论文.其中大多数都是针对某一特定作用力情况下来建立数学模型和进行求解,例如,由一个固定弹簧产生的弹性力或由一个固定阻尼器产生的阻尼力.其中很少有学者对不稳定性机理进行研究.

　　Mote^[1,2],Iwan^[3,4]和Stahl^[3]等学者研究了受移动载荷系统的固定圆盘的不稳定性问题.Iwan和Moeller^[4] 、Hutton[5]等和许多其它学者对受固定约束系统的旋转圆盘进行了深入研究,分析了其不稳定性特征.Ono^[6],Chen^[7]和Bogy^[7]等人则针对考虑摩擦力的质量-弹簧-阻尼载荷系统的旋转圆盘,进行了稳定性研究.Shen和Mote的论文可能是第一篇试图解释不稳定性机理的文章,它是以受转动质量-弹簧-阻尼载荷系统的固定圆盘为研究对象的.

　　总之,以前的学者们并没有对上述旋转圆盘系统的物理机理作出进一步的研究和给出清晰的解释,特别是对于受任意作用力引起的不稳定性机理的研究.因此,本文提出了一个适当的动态模型,这对于理解受任意力作用的旋转圆盘的不稳定性是非常有意义的,同时它还为进一步研究和分析具体应用对象的不稳定性奠定一个基础,具体应用对象包括圆盘木锯、计算机磁盘、硅芯片切屑刀具、转子系统及金属切削刀具等.

　　1　运动方程

　　对于同时受横向和面内作用力的旋转圆盘如图1所示,并用空间坐标系来描述该系统.对该力学模型作如下假定:

　　(1)圆盘是匀质的和各向同性的;

　　(2)圆盘的转速是恒定的;

　　(3)圆盘的厚度相对于半径是非常小的;

　　(4)转动惯量和剪切变形较小,可忽略不计;

　　(5)线性应变和转角的平方相对于整体较小;

　　(6)绕z轴的转角较小忽略不计;

　　(7)z方向上的应力相对于r和θ方向上的应力非常小.

　　上述假定可得出如下应变-位移关系:

　　其中:u、v和w分别是圆盘中面的径向、切向和横向位移.

　　非线性表面应变表示为:

　　现在需要得到旋转圆盘的动能和势能的表达式.圆盘的势能可表示为:

　　其中,ρ是圆盘的质量密度,Ω是圆盘的转速,q是均匀分布在圆盘上的横向载荷.

　　圆盘的动能为:

　　将式(5)和式(6)代入式(7),经过一系列的简化过程,可推导出空间坐标系的主导方程和边界条件.

　　主导方程:

　　弯曲扭矩Mrr,Mrθ和剪切力Qrr分别为:

　　式(8)-(12)描述了圆盘在三个坐标方向上耦合位移u、v、w的非线性响应.