两端铰支层合浅拱的非线性‘跳跃’稳定性

    1　引　言

    浅拱类结构在航空、土建等工程中具有广泛的应用背景,对其力学特性,特别是在横向静、动力载荷作用下的稳定性的研究非常重要。在静力载荷作用下,浅拱的第一类稳定问题归结为非线性微分方程的边值问题,虽然对于各向同性材料情形,已给出了封闭形式的解析解[1,2],但对于复合材料情形,各单层材料及其铺层方向、铺层数的可设计性一方面改变了结构的刚度矩阵,另一方面也给分析求解带来了一定的困难。

    对于层合复合材料浅拱在静力载荷作用下的非线性‘跳跃’失稳问题,尚未见到有关报道。在数值分析方法广为流行的今天,寻找这类问题的分析解仍然具有重要的理论价值。本文采用修正迭代法,企图得到两端铰支、对称正交铺层浅拱非线性失稳问题的近似解析解,并进而着重考察结构几何参数、铺层数等对于‘跳跃失稳’临界载荷的影响。

    2　基本方程

    文献[4]给出了复合材料层合浅拱在横向载荷作用下的动力学控制方程,去掉惯性项后,则得到描述其非线性稳定问题的基本方程为:

其中,A,B,D,w等,其意义均与文[4]相同。

    当拉—弯耦合刚度B =0时,两端铰支边界条件为

则拉—弯耦合刚度B =0时的浅拱平衡方程和边界条件化为:

    3　三次修正迭代解

    (4)式为非线性的微分—积分方程边值问题,要得到该方程的解析解并不容易。作为近似求解方法,叶开源等人提出了修正迭代法,并在一系列非线性稳定问题中成功实施[3]。现在用该方法求浅拱的近似解析解,并分析稳定性。

    取浅拱中央截面挠度W₀作为迭代参数,n次近似用上标^‘(n)’或下标‘_(n)’表示。

    一次近似,取V(0)=0,即取浅拱为直梁情形,迭代格式为

由W₀= W₍₂₎|_ξ=π/2,可得二次近似特征关系为:

其解的表达式可由直接积分得到,然后由W₀=W₍₃₎|_ξ=π/2,则可得到三次近似特征关系为:

　　其中,采用下列的记号后,(14)中的系数表达式为(15)式。

采用相同的迭代格式和步骤,还可以依次得到四次、五次…n次特征关系式。

    4　‘跳跃’稳定性分析与讨论

    根据修正迭代解得到的载荷—位移近似特征关系(11)、(14)式,对于铺层顺序为[0°/90°]s、纤维方向及其正交方向弹性模量分别为:E1=206·9GPa,E₂=5.2GPa的对称正交铺层浅拱,可以得到相应于几种给定结构几何参数γ的特征关系曲线,如图1所示。图中表明,对于本算例,当γ>1时,浅拱‘跳跃’失稳即‘极值点失稳’是有可能发生的。