基于谱系聚类的随机子空间模态参数自动识别

    随机子空间方法( SSI)［1 －2］是近年来发展起来的一种行之有效的环境激励模态参数识别方法，该方法直接工作于时域数据，没有频率分辨率误差的问题，不但能准确识别系统的频率，而且能很好的识别系统的模态振型和阻尼。在识别过程中结构模型的定阶是最关键的环节之一，常见的做法是先对系统阶次进行过估计，然后结合稳定图进行结果选取。目前稳态图中模态的选择多数是通过人工完成，这不仅增加使用者的工作量，不适用于在线分析情况，而且由于使用者在认识上存在着差异( 易受虚假模态干扰) ，使得模态参数识别结果带有一定的主观性。因此为随机子空间算法引入一种模态自动选取方法是一项亟待解决的工作。

    文献［3］提出借助模糊 C 均值算法对 p_LSCF 结果进行自动拾取，文献［4］提出一种改进的谱系聚类算法对 LSCF 结果进行自动选择，都取得了良好的效果。本文以基于协方差驱动的随机子空间算法进行参数估计，针对其计算结果中大量虚假模态影响结果拾取的问题，提出一种能够衡量模态可靠性的指标称之为模态相似指数，将其结合模态能量以剔除计算结果中由噪声、模态过估计等因素引起的虚假模态; 以频率、阻尼比、模态振型、模态能量为聚类因子计算结果中各模态之间的相似性，采用谱系聚类法根据模态之间的相似性将计算结果分成若干类，提取元素个数大于一定值的类作为拾取结果。通过一个数值仿真以及实例分析验证本文方法可以实现系统物理模态地自动拾取。

    1 随机子空间虚假模态剔除

    1. 1 基于协方差的随机子空间系统识别算法［1］

    n 自由度系统，其离散时间状态方程为:

其中: A∈R^{2n × 2n}: 状态矩阵，B∈R^{2n × m}: 输入矩阵，C∈R^{l × 2n}: 输出矩阵，D∈R^{l × m}: 直馈矩阵，m: 输入个数，l: 输出个数，Δt: 采样间隔。

    定义输出协方差矩阵 R_i:

    R_i= E［y_{k +i}·y^Tk］ ( 2)

定义状态 － 输出协方差矩阵 G:

    G = E［x_k·y^Tk］  ( 3)

可证明如下关系成立:

    ( 1) 构造 Toeplitz 矩阵

其中: O_i∈R^{il × N}为扩展可观测矩阵，T_i∈R^{N × li}为扩展可控矩阵，N 为系统阶次。

    设 W₁和 W₂为两个可逆加权矩阵［2，5］，对加权 To-eplitz 矩阵进行 SVD 分解，可以得到:

其中: (·)+表示矩阵的伪逆。

    ( 3) 模态参数的识别

    由式( 6) 可以看出，C 为矩阵 O_i的前 l 行，G 为 T_i的后 l 列，用 Matlab 语言表达如下: