边界元角点问题的重节点法分析

　　0引言

　　用边界元法分析结构复杂、几何形状不规则物体、以及接触问题、裂纹问题等是工程上常用到的方法。同有限元法不同，边界元对元素间物理量连续性的要求是不必要的，因而在工程上得到广泛应用。由于非连续边界元可以很好的处理几何角点和边界条件不连续问题，因而在边界元分析中被广泛采用^{〔1，2〕。}在二维弹性问题中对于角点问题多采用非协调元法，它适用于处理复杂边界以及高应力集中问题^[3，4〕，特别是处理裂纹间题，它的局限是要对奇异点单元进一步细分，增大了工作量^〔5,6]。对于三维问题，对内插函数的修正将增大工作量，局部单元的细分以及影响系数的计算也将降低计算效率，使得求解复杂化。

　　笔者以三维弹性力学问题为例，采用三维等参元离散边界积分方程，利用重置节点法处理三维问题角点表面力不连续问题。通过对几何形状的微小修正，在重点配置表面力的分量，使得总方程数目与总的未知量数目相等，从而解决了由于角节点表面力不连续带来的方程求解困难问题。该方法操作简单，计算效率高，能够满足计算精度的要求。

　　1边界积分方程及其离散化

　　三维弹性体的边界积分方程为(不计体力作用)

　　式(l)和式(2)往往只能对于几何形状和受力形式简单的情况给出解析解，对于一般问题需利用数值方法求解。为了对式(l)和式(2)进行边界元分析，将物体边界离散为N个单元，在每个边界元素上对几何采用八节点等参变换的插值函数逼近，边界单元的离散模式如图1所示

　　将(3)式代人边界积分方程(l)中，得到离散的边界积分方程为

　　对每个配位点沿三维弹性体边界进行积分，可以得到边界元分析的代数方程组

　　利用(6)式，考虑边界条件后，解线性代数方程组，可得各点的位移和面力，在代人内点物理量计算公式，便可确定内点物理量值。

　　2角节点上的面力不连续问题

　　当节点位于非光滑边界上(角点或棱边)时

　　发生表面力不连续，这就意味着表面力为未知时，对应角节点建立的方程数少于所求的未知参量数。对于这类角节点表面力不连续问题，本文采用重节点法。设单元J和J+1在公共节点Q有一不等于零的夹角a，并且2单元都位于位移或混合边界上，此时，公共节点的未知量个数大于3，而问题总的未知量个数大于3怂，如图2(a)所示。为了建立起足够数目的方程，剖去Q而以A和B代替p成为单元J，J+1的节点，如图2(b)所示。点A和点B距点Q点的距离取单元边长的0.01一0.1倍，因此可以认为它们3点的位移相等。由于在点A和点B至多可以建立6个方程，从而保证了总方程数目不会少于总的未知量数目。