纵振激励频率对圆盘弯曲振动特性的影响

　　以前的文献都理想地认为，当纵向夹心式换能器激励薄圆盘的中心且二者的频率相等时，此时圆盘弯曲振动的基频等于圆盘的本征频率，且往往将圆盘中心处的激励源看做点激励。实际应用中激励源是有一定面积的，且由于这样或那样的原因很难做到两者的共振频率相等。两者的设计频率一旦有偏差，圆盘的振动及声辐射场就会发生相应变化，而这种情况很难用解析法来计算分析其中的变化规律。本文采用有限元计算方法，计算了激励面积不变的夹心式纵向振动换能器的频率变化对圆盘中心激励产生弯曲振动特性的影响，得出了圆盘的基频、节线半径和位移图变化规律。

　　1 计算模型

　　1. 1 纵弯振系统

　　系统模型如图1 所示，纵振换能器通过阶梯变幅杆与圆盘中心相联结。本文通过变换激励源的频率，即用不同频率的纵振换能器在圆盘中心作为激励源，计算圆盘基频弯曲振动特性的相应变化规律。

　　1. 2 弯曲振动圆盘的设计

　　弯曲振动圆盘的厚度为 h，半径为 a( ha) ，假定圆盘的横向位移很小，忽略其旋转惯性及剪切变形，对于薄板的小振幅弯曲振动下轴对称弯曲位移 y( ρ，t) :

　　当泊松比 σ 已知时，可求得频率方程的根，即一系列的 kna 值，n 为正整数，对应不同的节圆数和圆盘弯曲振动模式。圆盘振动的共振频率为[10]:

　　2 计算

　　由上式( 3) ，设计圆盘的频率为 f1= 20 084 Hz，半径 a =0. 023 7 m，厚度 h =0. 005 0 m。选择圆盘的材料为 45 号钢，其密度 ρv= 7 800 kg / m3，泊松比 σ =0. 28，杨氏模量 E = 2. 16 × 1011N / m2，处于自由边界条件，其与激励源的接触可看成是点激励。利用数值方法求解自由边界条件下圆盘的频率方程，得到一系列根值 kna，当 n = 1 时可解算得圆盘产生一阶弯曲振动时的节圆半径为 ρ0= 0. 016 12 m[10]。

　　在 ANSYS 有限元软件中构建三维模型如图 1 所示，圆盘采用 3 - D 型 10 节点 solid187 的单元类型，网格划分分析类型为模态分析，在不施加约束并忽略结构阻尼情况下，求解即获得圆盘的基频值，此时在操作路径中读入起始坐标和终止坐标( 本文的起终点坐标为沿 X 轴方向圆盘直径两端点的坐标) ，由 Plot PathItem选项即可画出归一化横向位移路径图。当圆盘的归一化横向位移幅值为零时，可求得其节圆半径[11]。计算结果表明，在上述条件下，不同的激励源频率会产生对应不同阶数的弯曲振动模式，在诸多的弯振模式中存在一个与圆盘频率相近的基频模式。

　　2. 1 纵弯共振

　　当激励源的半径为 r，频率为 f1时使得圆盘产生一阶弯曲振动模式，即两者频率相同时，根据有限元方法计算得到圆盘的基频为 f = 20 005 Hz，节圆半径 ρ =0. 016 15 m，沿直径方向的横向位移分布图如图 2 所示。数值计算发现，圆盘的基频比其本征频率小 0. 4%左右; 此时圆盘的节圆半径比其本身节圆半径 ρ0大0. 2% 左右。若调整激励源的频率，使得圆盘在其本征频率上产生一阶弯曲振动，数值计算得到，此时激励源的频率为 f = 20 204 Hz，比传统认为的激励频率大0. 6% 左右; 圆盘的节圆半径 ρ = 0. 016 19 m，比起本身节圆半径 ρ0大 0. 4%。