张量积形式的三维延拓Kantorovich法

    在 Kantorovich 法[1]的基础上，1968 年 Kerr[2―3]提出了延拓 Kantorovich 法，将它应用于矩形截面杆的弹性扭转问题和四边固支薄板的弯曲问题。早期研究工作仅限于一项试探函数，即取试函数为u ( x , y )   X ( x )Y  ( y)。为了避免求解常微分方程组，Webber[4]提出逐项求解的延拓 Kantorovich 法。

    袁驷等利用常微分方程求解器 COLSYS[5―6]，提出采用多项试探函数，即取试函数为 u ( x , y ) =这一改进大大拓宽了延拓 Kantorovich 法的求解范围，使研究焕发了新的生机。袁驷和张亿果[7]用多项试探函数求解了弹性扭转问题和薄板弯曲问题。袁驷和金焱[8]首次将延拓 Kantorovich 法应用于矩形薄板的弹性稳定问题[9]、矩形中厚板弯曲问题[10]和薄扁壳弯曲问题[11]。数值结果表明，多项试探函数的联立求解法明显优于逐项求解法。

   根据上述研究，延拓 Kantorovich 法具有显著的高精度、高效率的特点。一方面，其特有的一元函数乘积和的函数逼近形式使它具有非常强的逼近能力。二维问题的数值算例表明，往往 2~3 项( n   2或 3)就可得到足够高的精度。另一方面，由于采用了对各个维度“分而治之”的迭代策略，每个迭代步只需求解一个常微分方程组，因而大大减少了计算量，表现出显著的高效率。

    但是，过去的研究几乎都集中于二维问题，三维问题尚为空白。本文作者通过大量数值试验发现，三维延拓 Kantorovich 法的实施难度和复杂程度大为增加，与二维延拓 Kantorovich 法有着实质性的区别。因此，三维延拓 Kantorovich 法很有研究的意义。本文首次给出三维延拓 Kantorovich 法的算法方程式。

    1 试函数逼近形式

    当采用简单的试函数逼近形式，即 u ( x , y , z )   时，迭代过程不收敛。经过对各种试函数逼近形式的尝试，发现如下特定的张量积形式的函数可以解决该数值困难：

    2 算法实施

    2.1 积分微分方程组

    下面以立方体域上的三维 Poisson 方程的Dirichlet 问题为例，具体阐述三维延拓 Kantorovich法的算法实施过程。三维 Poisson 方程对应的能量泛函为：

其中，  为立方体域[   a , a ]   [  b  , b ]   [   c , c]。

    将式(1)的试函数逼近形式代入式(2)，经整理并取变分后，可以导出如下一套耦合的积分微分方程组：

    其中的各项系数为：

    需要特别指出的是，由于{ X }、{Y  }是n元向量，相应地在式(3a)、式(3b)中，1[ A ]、2[ A ]、1[ B ]、2[ B ]为 n   n的矩阵，1{F  }、2{F  }为 n 元向量；而是2n 元向量相应地在式(3c)中，3[ A ]、3[ B ]为2 2n   n的矩阵，3{F  }为2n 元向量。