一类弹性储液箱同液体耦合晃动问题的分岔行为分析

　　引 言

　　储液箱体同液体耦合晃动动力学与控制是动力学与控制学科及其交叉学科的重要研究领域. 其广泛应用于土木工程、汽车工程、船舶动力学以及航空航天工业中. 液固耦合晃动及其最优控制始终是航空航天飞行器总体设计的核心问题之一[1-3]. 迄今为止国内外航天力学工作者对充液系统的耦合晃动问题进行了广泛的研究[4-5]. 由于液固耦合晃动问题可造成灾难性的破坏事故，使得液固耦合动力学的深入研究更加需要，同时，由于耦合问题存在大量的非线性因素，也使得此问题的理论研究更加复杂.为建立有效的数学模型以研究充液耦合系统的动力学行为，尹立中、马兴瑞等[6-7]将液体的速度势函数在自由液面处展开，利用 Lagrange 函数，导出了广义模态坐标下的非线性方程组，从而进行理论分析. 本文在此模型的基础上，进一步引入了储液箱的弹性变形对耦合充液系统的影响，利用模态展开的方法，从而得到描述弹性储液箱同液体耦合晃动系统的常微分非线性方程组. 并应用多尺度法和 C-L( Chen-Langford) 方法对系统进行研究分析，得到了系统丰富的动力学行为，为保证充液耦合系统在工程应用中的稳定性起到指导意义.

　　1 弹性充液耦合系统的非线性振动控制方程

　　系统模型如图1 所示，设储液器半径为 a，外高为 H，内部水高为 d，材料密度为 ρs，弹性模量为 E，液体的密度记为 ρl. 在柱坐标系统中，原点 O 位于静液面的中心，取系统的对称轴为 z轴，向上为正. 记流体的自由面为Sf，系统静止时的自由面记为S0f，自由面上一点到静止水面的高度差为 η，即波高函数，在连接附件上作用简谐激励Fsin( Ω t) .

　　设流体为均匀、无粘、无旋、不可压缩的理想流体，且箱体的振动远远小于箱体的厚度 Δh .定义水波的运动区域为: 0 < r < a，0 < θ ≤2π，且 - d < z < η( r，θ，t) ，同时，定义φ( r，θ，z，t) 为速度势函数. 由!2φ = 0，得到自由液面 z = η( r，θ，t) 上的运动学方程和动力学方程[7]分别为

　　同刚性储液箱的边界条件不同，弹性储液箱同液体耦合的边界条件为

   （3）

　　其中w·( θ，z，t) 为储液箱弹性变形的径向速度.根据分离变量法，可将速度势函数、波高函数以及径向速度展开[7-8]:

　　其中，n( t) 和ηn( t) 为速度势函数和波高函数的广义模态位移，f( r) 为静液面曲线，φn( r，θ)= AnJn( knr) cos( nθ) 为速度势函数模态，ξn( r，θ) = BnJn( knr) cos( nθ) 为自由液面模态，An，Bn和 fmn为模态标准正交化系数，J 为 Bessel 函数，kn为 J'n( knR) = 0 的解.

　　考虑弹性储液箱的弹性变形所引入的弹性储液箱的“呼吸”模态( 见图2) 将会引起储液箱中液体燃料的轴对称模态( 见图 3) . 假设外激干扰均沿柱形储液箱的径向分布( 即不考虑储液箱的水平运动，仅考虑储液箱的“呼吸”模态) . 为了描述方便，取液体第一阶和第二阶轴对称模态，箱体的第一阶“呼吸”模态，高阶模态截断大约会引入 10%左右的截断误差，这在定性分析中，一般是可以接受的.