受内压椭圆封闭薄壁截面杆的小变形动力学性质

　　充液封闭截面薄壁构件在油料储备和航空航天工程中有重要应用,其力学行为的研究得以进展[1-3]。在流体压力工况下,薄壁截面柱体充以内压可以显著地形成甚至大幅度提高抵抗拉压、弯曲、扭转变形的刚度。对充液封闭截面薄壁构件进行小变形动力学性质的研究、分析其应力及振动特性,为封闭薄壁罐体在油料运输、储备及机械行业应用中的使用寿命评估在理论上建立了基础。

　　充以内压的空心薄壁杆存在静态应力场。把这应力场作为初应力,其后的承载行为看作附加在初应力位形上的小变形运动。利用薄壁构件分析方法[4]和已经由Toupin和Ericksen等奠定的理论基础[5-6],并在杆件和板构件问题中得到成功应用[10]的初应力位形上附加变形的线性理论,得到受内压初应力影响的杆的动力学方程,给出了这种构件力学性质的定量分析方法和一些数值结果。

　　1　受内压椭圆薄壁截面杆的初应力

　　对图1所示薄壁杆闭合椭圆截面,设壁厚均为δ,中线为椭圆:

　　端面封闭情况下,杆存在轴向正应力S0x、周向正应力S0t。忽略其余应力分量,只计薄壁中薄膜应力[4],有

　　2　杆中初应力的数值特征

　　文献[7]引入了初应力的数值特征。研究附加拉压和弯曲变形,需要初应力数值特征16个。文中情况下,只有5个非零,它们是:

　　它表示截面轴向非均匀位移与扭率的比值。对于文中所述情况,与翘曲相关的初应力数值特征有如下两个非零式中:Fi和T(n)i为

　　3　杆附加小变形问题的变分方程

　　按文献[7],附加小变形位移uj和相应的附加应力满足虚功方程

　　式中:Fi和T(n)i为外加的体力和面力,Ajiklεkl为附加应变εkl对应的不含初应力分量的部分增量应力,Ajikl为对应于当前应力状态的弹性张量。在杆的近似理论中取位移的模式为:　

　　式中:px, py, pz和mx都是分布等效广义载荷,它们分别是分布轴力、分布横向力和分布扭矩。其它形式的广义载荷忽略不计。Tx、Mz、My、Q*y、Q*z、H、Mx和Qyz则为与u′、v″、-w″、v′、w′、θ″、θ′和θ功共軛的广义内力,其定义为:

　　式中:E和G为当前状态的杨氏模量和剪切模量。这样一来,可以得到:

　　4　控制方程和边界条件

　　对于动力学问题,变分方程(10)中Fi应用Fi-ρ¨u代替,这里¨u表示对时间变量的偏导数,ρ为当前密度。这时,广义位移u, v,w,θ都是x和t的二元函数。这种情况下,方程(13)亦应作相应的修正。完成变分到相应的Euler方程的推演,可以得到杆小变形运动的控制方程: