随机干扰下碰撞振动系统的动力学分析

　　近年来,国内外学者对确定性非光滑系统的动力学[1~5]及混沌控制[6~7]问题进行了深入研究并取得相关成果。然而在现实的工程领域中,系统常常受到随机因素的影响。由于实际碰撞振动系统动力学模型的不精确性及非线性元件的线性化处理,以及外界环境随机干扰,弹簧系数、阻尼系数、恢复系数和激振力都可能是随机的参数。所以在原系统的基础上附加随机干扰来进行动力学分析对今后的工程应用更具有指导意义。

　　近年来,国内外学者对随机非线性系统展开了深入研究,文[8]利用Hertz理论描述接触,得到了高斯白噪声激励的具有间隙的单自由度碰撞振动系统的精确平稳解。Huang Z L, Liu ZH, ZhuW Q[9]用拟不可积哈密顿系统的随机平均法研究了多自由度碰撞振动系统的随机响应。L. Arnold, W. Kliemann[10]研究了参激和外激白噪声对Pitchfork分岔的影响,并对噪声导致的跃迁现象的研究进行了评述。C.Meunier, A. D.Verga[11]研究了白噪声外激的鞍结(saddle-node)分岔和Pitchfork分岔模型,并认为不变测度不能充分地描述分岔情况而Lyapunov指数和有效势能够很好地反映噪声对分岔的影响。文[12]应用广义胞映射图论方法研究了在谐和激励与随机噪声共同作用下的Duffing-van derPol系统的随机分岔现象。文[13]依据平均最大Lyapunov指数符号的变化,分析了随机相位对非线性系统动力学行为的影响。但目前很少有文献涉及随机干扰下碰撞振动系统动力学行为的研究。由于Lya-punov指数是用来表征系统状态轨道收敛或发散的一个特征指数,是刻画混沌的重要指标,本文运用文[14]提出的算法计算了系统的Lyapunov指数谱,依据Lya-punov指数谱分析了随机干扰对碰撞振动系统的动力学行为的影响。最后对随机干扰下的碰撞振动系统的随机分岔进行了研究,通过数值模拟发现此时系统的分岔点与未加随机干扰时系统的分岔点不同。

　　1　碰撞振动系统的动力学模型和振动微分方程

　　图1是一个含间隙的单自由度碰撞振动系统的力学模型。该模型由质量块M、线性弹簧K和线性阻尼C组成。质量块只作水平方向的运动,并受到简谐激振力Psin(ΩT+τ)的作用,增大激振力的幅值,当质量块M的位移X(T)等于间隙B时,质量块M将与约束A碰撞,质量块M改变速度方向后,又以新的初值运动,然后再次与约束A碰撞,如此反复。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼,碰撞过程中的能量损失由碰撞恢复系数确定,碰撞持续时间略去不计。

　　2　碰撞振动系统的Lyapunov指数谱

　　混沌系统的一个特性是对初始值具有敏感性,即从两个相邻点出发的轨道,经过一段时间后,按指数规律迅速分离, Lyapunov指数就是用来度量相空间中两条相邻的轨道随时间变化按指数规律收敛或发散的程度。1983年,格里波基证明当一系统(非发散)的Lya-punov指数出现正值时,此系统将是混沌的。因此在非线性随机动力系统的研究中,最大Lyapunov指数是一个最重要的特征参数。