正六边形自聚焦透镜折射率分布研究

　　0　引言

　　当前微小光学器件被广泛的用于通信和成像系统,其中的自聚焦透镜可以按一定的排列方式组成阵列,提高了光学元器件的成像效果[1-3].当前用于组成阵列的自聚焦透镜的端面一般是圆形.它们之间存在着空隙,在六边形紧密排列方式下其占空比理论极限也只有90.7%[4].用这种阵列采集、传导光信号会存在不同程度的光泄漏,使得传输的图像分辨率下降[5-6].

　　为了提高光信号的采集和传导效率,本文研究了可以被紧密排列的正六边形自聚焦透镜,采用分离变量法和坐标变换求得了正六边形自聚焦透镜折射率分布的解析解.然后用数学软件(Matlab)对其进行了模拟和比较,定性、定量地验证了该解析解的正确性.为制造和研究正六边形自聚焦透镜及其阵列提供了有利的理论依据.

　　1　扩散方程和求解模型

　　1.1　扩散方程

　　目前,制作自聚焦透镜常用的是离子交换法[6].将玻璃纤维浸入熔盐中,在定边界浓度的情况下进行离子交换.一方面,由于折射率与离子浓度成线性关系,即折射率分布随扩散过程变化;另一方面正六边形自聚焦透镜的端面是一个二维平面,所以折射率分布的函数表达为n=n(x,y,t).要求解其折射率分布,可以先求其浓度分布C=C(x,y,t).针对离子交换实验中的定源扩散,用二阶线性齐次扩散方程[7],在正六边形的边界条件C=C1和初始条件C=C0下求解得

　　在参考了以往的同类实验后[9],为方便计算,取边长a=1 mm,正六边形在直角坐标系中的位置如图1.

　　由于方程(1)的边界条件是非齐次的,这不利于方程的求解,所以先将它齐次化[7].令u(x,y,t)=C(x,y,t)-C1,则方程(1)转化为

　　

　　1.2　求解模型

　　将方程(2)变量分离后得[7]

　　从方程(3)可以看出,在边界条件中,只有上下这对边界可以被方便带入;而其余四个边界给带入求解带来了困难.经过分析发现,正六边形由三组平行线族围成的,如图2.所以针对离子交换法实验中的定源扩散提出一种求解模型:用三个方向上的一维扩散由叠加原理得到正六边形自聚焦透镜折射率分布的解析解.

　　2　求解过程

　　正六边形在如图1的摆放情况下,先求沿Y方向的一维扩散问题.在变量分离后加上边界条件得

　　对方程(5)进行坐标变换:将其绕坐标原点逆时针旋转60°;后沿X轴负方向平移得到左上和右下一对边界之间一维扩散解

　　再将方程(5)绕坐标原点顺时针旋转60°;后沿X轴负方向平移得到左下和右上一对边界之间一维扩散解