弹性地基上的二维声子晶体薄板振动特性研究

    当电磁波在周期性复合介质中传播时，介电常数受到周期性调制会产生光子带隙，在带隙频率范围内的电磁波不能在介质中传播，人们将这种具有光子带隙的周期性功能材料称为光子晶体。受其启发，1992 年，Sigalas 和 Economou 在理论上首次证明金( 铅) 球在铝( 硅) 基体中形成的复合材料存在声波禁带，在带隙频率范围内的弹性波不能在其中传播，人们将这种具有弹性波带隙的周期性结构材料称为声子晶体［1］。经过20 年的发展，目前弹性波禁带特性的计算方法主要有: 平面波展开法、时域有限差分法、传输矩阵法、多重散射法、集中质量法及有限元法［2—5］。声子晶体的弹性波禁带特性为工程结构的减振隔振和振动控制提供了一种新的思路，利用声子晶体的这种特性可以控制振动的传播，因此对声子晶体的研究正引起广泛的关注。

    在实际工程中，弹性地基板有着非常广泛的应用，例如混凝土道路的路面、建筑物的底板、船台滑道工程中的基础均为弹性地基板［6］。但是，对弹性地基上的声子晶体板的研究还比较少。本文利用大型有限元软件 ABAQUS 分别对二维声子晶体薄板以及弹性地基上的声子晶体薄板进行传输特性计算并进行比对分析。

    1 横向振动基本方程

    1. 1 二维声子晶体薄板的横向振动微分方程

    薄板是工程结构中经常使用的构件，它是高度远小于底面尺寸的棱柱。在研究薄板的横向振动时，是以 Kirchhoff G. 建立的弹性薄板小挠度弯曲理论为基础［7］，薄板的弯曲振动方程为

    式( 1) 中: w 为 z 方向位移; h 为板的厚度; D =Eh3/12( 1 － σ2) 为板的弯曲刚度; E 为弹性模量; σ为泊松比。

    式( 1) 可以改写为

    式( 2) 中: α = ρh，β = Dσ，γ = D( 1 － σ) 。对于图1所示的二维声子晶体薄板模型，α，β，γ 均为位移矢量 r = ( x，y) 的周期函数［8］。

    1. 2 弹性地基上的二维声子晶体薄板的横向振动微分方程

    在对弹性地基的研究计算中，经常用到以下几种线弹性地基模型: Winkler 模型、弹性连续介质模型、双参数模型、黏弹性地基模型、各向同性饱和弹性半空间模式以及横观各向同性饱和半空间模式。本文选用 Winkler 模型模拟弹性地基。在 Winkler模型中，地基表面的任一点的压力 p 与该点的位移w 成正比［9］，即

p( x，y) = kw( x，y) ( 3)

    式( 3) 中: k 称为地基基床系数或地基反力系数，量纲为 N·m－ 3。