基于四端网络法的超声珩齿振动系统设计

　　超声珩齿加工中被加工齿轮超声振动的实现尤为重要,本文将小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆与被加工齿轮组成复合振动系统,采用四端网络方法,从任意截面细杆的一维纵振运动方程及其通解入手,利用边界条件导出其机械运动方程组,进而得到机械四端网络模型。将超声珩齿复合振动系统的每一部分都等效为一个机械四端网络,利用连续条件将每个网络的传输矩阵相乘,得出复合振动系统的整体传输矩阵,由此得到超声珩齿复合振动系统的参数关系。

　　1 四端网络设计复合振动系统的原理

　　假设有一任意截面的均质细杆长为l,截面积函数为S(x),质量密度为ρ,拉压弹性模量为E,横向尺寸远小于声波长,视为细杆作一维纵向振动.取细杆中心线为x轴,左端面为原点,如图1所示。

　　显然,x截面的纵向位移u是坐标x和时间t两个变量的函数,即u =u(x, t),若细杆受简谐激励,可得到细杆作纵振动的运动支配方程

　　式中,为圆波数,ω为圆频率。

　　在实际应用中,振动系统往往是由多个部件组合的复合系统。如果将组成系统的每一个部件都等效为一个机械四端网络,然后将相应各传输矩阵连续相乘,可得到一个整体四端网络及其传输矩阵[1]。在一定的条件下,振动系统的性能特征取决于其四端网络传输矩阵。复合振动系统的四端网络如图2所示。

　　将系统的任意一级等效为一机械四端网络,其传输特性方程为:

　　按其组合的顺序,将各级传输矩阵连续相乘,可得到复合振动系统的传输特性方程:

　　由四端网络传输特性方程可求出振动系统的谐振频率、位移放大系数等性能参数,或根据谐振频率设计出系统的几何尺寸。利用四端网络的传输特性,还可以方便地得到振动系统的应力分布。当振动系统两端自由,且两端位移最大时,传输特性方程为

　　由式(9)可得振动系统的频率方程

　　两端振速比为:

　　2 复合振动系统的运算公式

　　将试验中被加工齿轮简化为直径等于齿轮分度圆直径、厚度等于齿厚的一个圆柱体,则超声珩齿复合振动系统的结构如图3所示。假设四部分材料相同,l1、l2、l3、l4分别为振动系统四段的长度,S1、S2、S3、S4为各截面的面积。

　　由图3可知,复合振动系统由等截面杆和圆锥形杆构成,将等截面和圆锥截面杆件的形状参数代入式(3)~式(6),不难得到4段变幅杆的四端网络传输矩阵A,其分别为

　　由上述分析可知,复合振动系统的整体传输矩阵为