直角坐标系下计算圆柱度误差的一种实用算法

　　1 引言

　　在几何量测量中,圆柱度误差测量是一种常见而又复杂的测量项目。根据所选坐标系的不同,通常有两种评定方法:

　　(1)柱坐标测量法(半径测量法)。该测量法的数学模型与算法,迄今为止已十分完善[1],但必须满足安装偏心小,采样点为偶数,且等角度间隔采样的成立条件。由于在三坐标测量机上,采样值为直角坐标值,保证等角度间隔采样极其困难,也极耗费时间与精力,因而并不可取。

　　(2)直角坐标测量法。通常有两种:

　　1)直接将半径测量法中柱坐标采样值等量转换为直角坐标系中采样值,并没有强调指出其成立条件,所以引用时须慎重。

　　2)增加许多辅助测量,进行复杂的坐标变换[2],或过分依赖于初值的选取[3],从而使坐标测量法的使用受到一定限制。

　　在此给出了直角坐标下任意空间位置圆柱度误差评定的最小二乘法数学模型,首先利用两端点连线法获得初始轴线,再通过所有测量点的坐标值利用最小二乘法求得基准轴线,最后对测量点进行相应处理得到圆柱度误差。经仿真分析证明,该模型实用性好,计算效率高,可用于三坐标测量机或其它智能量仪测量圆柱度误差。

　　2 数学模型[4]

　　将被测实际零件置于空间直角坐标系中,在与Z轴垂直的n个采样截面上分别取m个采样点。设各个采样点为Pij(xij,yij,zj),并且(i=1,2,,,m;j=1,2,,,n),最小二乘轴线为O1Z1,最小二乘圆柱面半径为R,最小二乘轴线与XOY坐标平面交点为O1(a,b,0)。则最小二乘轴线可用下面的直线方程来表示:

　　其中:(g,k,1)为直线O1Z1的方向向量。

　　2.1 求取初始轴线

　　分别对第1个和第n个离散采样截面求取最小二乘圆心C1(x1,y1,z1)和Cn(xn,yn,zn)。

　　设连接C1和Cn所确定的直线L2的方程为:

　　式中:(g0,k0,1)为直线L2的方向向量;(a0,b0,0)为L2与坐标平面XOY的交点。

　　由于C1和Cn在直线L2上,所以必有:

　　联立求解方程组即确定直线L2。

　　2.2 建立基准轴线

　　令第j个采样截面与最小二乘圆柱面的轴线的交点为Oj(aj,bj,zj)。因为Oj(aj,bj,zj)在直线O1Z1上,所以必有:

　　设各个采样点Pij(xij,yij,zj)到Oj(aj,bj,zj)的半径为rij,径向偏差为Eij。

　　将式(5)在G(a,b,g,k,R)附近领域内一点G0(a0,b0,g0,k0,R0)处泰勒展开,并取一阶近似,令:

　　于是有:

　　令:

　　下面用矩阵法求满足最小二乘原理的[ΔR Δa Δg Δb Δk]^T。数据的结构矩阵为: