直角坐标采样时的圆柱度误差数学模型

　　圆柱度误差对精密机器和仪器的性能有很大的影响.迄今为止,用半径测量法求圆柱度误差的数学模型与算法已十分完善[1,2].但数学模型成立的条件是满足安装偏心较小,采样点为偶数,且等角度间隔采样.采用半径测量法时等角度间隔采样并不困难,但在使用三坐标测量机,采样值为直角坐标值时,等角度间隔采样既困难,又耗时[3~8],因此,建立适用于直角坐标系的圆柱度误差的数学模型,具有重要的理论意义和现实意义.

　　1 数学模型

　　将被测圆柱体置于空间直角坐标系OXYZ中,轴线与OZ轴重合.对圆柱体取n个垂直OZ轴的离散采样截面,在每个采样截面轮廓上又分别取m个离散采样点.令采样点为

　　1.1 最小二乘圆柱面

　　图1为第j个采样截面轮廓的示意图#图中R为最小二乘圆柱面的半径.令最小二乘圆柱面的轴线L与坐标平面XOY交点的位置向量为A0=[a,b,0],轴线L的方向向量为S=[p,q,1],轴线L与各采样截面交点的位置向量为Oj=[aj,bj,zj],则轴线L的方程为

　　各离散采样点到最小二乘圆柱面沿最小二乘圆柱面半径方向的偏差为

　　式中,a,b,p,q和R为待求量.

　　根据最小二乘法原理[7,8],有

　　为得到关于待求量的显式表达式,对式(2)进行线性化处理,即将式(2)在点X(a,b,R,p,q)邻域内的点X0(a0,b0,R0,p0,q0)处做泰勒级数展开,并取一阶近似,即令

　　于是有

　　式中,

　　为求得a0,b0,p0,q0和R0,令两端采样截面轮廓的最小二乘圆心分别为C1(x1,y1,z1)和Cn(xn,yn,zn),并令连接C1和Cn两点的直线为L0,L0与坐标平面的交点为C0(a0,b0,0),L0的方向向量为S0=[p0,q0,1],则L0的方程可写作

　　因为C1与Cn在L0上,所以必有

　　令P=[ΔR Δa Δb Δp Δq]^T,则正规方程组的矩阵表达式为

　　将ΔR,Δa,Δb,Δp和Δq代入式(3),可求得a,b,p,q和R#

　　1.2 圆柱度误差

　　圆柱度误差为

　　于是有

　　则式(5)可改写作

　　下面用矩阵最小二乘法求满足式(2)的ΔR,Δa,Δb,Δp和Δq.

　　由式(5)可知,数据的结构矩阵为

　　正规方程组的系数矩阵为

　　矩阵A为五阶对称方阵,令

　　则正规方程组的常数项矩阵为

　　令P=[ΔR Δa ΔRb Δp Δq]^T,则正规方程组的矩阵表达式为