具有转动弹性支承杆的热弹性过屈曲分析

    受轴向约束的弹性杆在升温场内要产生轴向压应力，当这种压力超过一定极限时杆将发生超出原始平衡状态的过屈曲，称为热过屈曲.因此，杆的热屈曲问题的研究对处于变温环境工作的结构以及某些热敏弹性元件的设计和安全分析均是十分必要的.杆的热弹性过屈曲变形是由于其轴线方向的热膨胀引起的，因此，在分析杆的热过屈曲时必须考虑杆的轴线伸长，而且杆变形后的轴线弧长为问题的基本未知量之一Ci--.sl.文献[2,x,6〕分别基于可伸长杆的几何非线性理论研究了纵向机械压力作用下的弹性杆过屈曲问题.Cof f in}5}采用椭圆积分方法分析了两端简支矩形截面杆的湿热过屈曲，用数值积分和Newton迭代法获得了过屈曲平衡路径.在文献[7--}9」中基于可伸长杆理论，采用打靶法〔’。〕分别研究了两端对称支承和非对称支承情况丫弹性杆的热过屈曲问题.文献「5」中的椭圆积分法仅限于分析两端对称简支杆热屈曲问题，对于其它两端不可移加紧及非对称约束杆则无能为力.而且，从结果的数值计算量来看，与打靶法的计算相同.本文将在文[6---9,11」的基础上，讨论两端线位移为零、转动方向受弹性约束的杆的热过屈曲问题.不可移简支和加紧约束则分别是转动弹簧刚度为零和趋于无穷大时的特殊情况.

    1问题的控制方程

    考虑一长为L的弹性杆，其两端为不可移简支，在转角方向分别有刚度系数为kl,k:的转动弹簧约束.设杆从自然状态起均匀升温为T.现分析当T超过临界值后杆的热屈曲行为.记杆轴线上一点在屈曲前的坐标为((x,妇，且xE [0, l}, y=Q.当杆进人热屈曲状态后，点C(x,0)移到点C} (x-} .sz , sz ) ,其中，i (x) , sz (x)分别为C点在x和y方向的位移(见图1).假设变形后其轴线仍在二y平面内，且变形服从Kirchhof f直法线假设.由轴线可伸长杆的大变形理论，可得下列控制方程:

    2数值方法及结果

    由于方程((9 ^-12)是强非线性方程，无法求其解析解，这里采用打靶法求其数值解.从问题的物理意义可知，非线性边值问题的线性化问题的最小特征值几r即为杆热弹性失稳的临界温度.当:r}时，杆进人热过屈曲状态.方程((9一12)连续依赖于控制参数R或m的解可以从其线性化问题(控制参数为无限小)的解开始让控制参数小步递增的解析延拓法获得，可以获得过屈曲状态杆的构形和平衡路径等过屈曲状态全局解.

    数值计算过程中，相对误差控制限取1Q-5.由于杆的两端为弹性支座，当弹性系数为零时为固定铰支座，当弹性系数趋于无穷大时就接近固定端支座.本文首先计算了给定K, = a,}二z2o,K:变化的杆的热过屈曲特性数据.K:由零逐渐增大，K:为零时相当于两端铰支杆，当K:逐渐增大趋于无穷大时相当于一端铰支一端固定杆.图2给出了r}}随Ka的变化曲线，9. 869 6毛r}(2o. 191，与文献〔7,8」的结果相吻合.图3给出了这种情况下控制参数a与温度参数:之间的关系曲线.然后计算了一端固定，相当于K:为无穷大，K:由零逐渐增大时杆的热过屈曲特性数据.此时左端转矩m为控制参数。显然当K:为零时相当于一端铰支一端固定杆，当K:逐渐增大趋于无穷大时相当于两端固定杆.图4给出了rcr随K。的变化曲线，20. 191镇‘镇39. 478，与文献[6,$」结果相吻合.图5给出了此时控制参数m与温度参数r之间的关系曲线.同时图6给出了3种支座情况不同K, , K:值所对应的}r曲线，其中}=S(1)一1是无量纲总伸长.