关于有限长弹性基础梁的分类

    1　引言

    弹性基础梁弯曲变形的微分方程是[1]

其中v(x)是弹性基础梁的挠度;q(x)是沿梁轴线载荷的集度;EI为梁的抗弯刚度.

k为地基系数.设l是弹性基础梁的长度,一般认为[1,2]

    短梁:βl<0.6

    有限长梁:0.6<βl<5

　　无限长梁:βl>5

    对短梁,在受外力作用下,梁像刚体一样下沉[1],因此,可视为刚梁处理.对无限长梁,用如下通解

来求解较为简单.其中v1(x)是满足(1.1)的特解.然而,对有限长梁,虽然原则上用通解(1.3)来求解是可行的,但计算工作量却十分繁重,因此,一般用叠加法和克雷洛夫函数法[1].

    克雷洛夫函数方法求解弹性基础梁时的通解为

其中v0,θ0,M0和Q0分别为坐标原点处截面的挠度、转角、弯矩和剪力;v1(x)是满足(1.1)的特解;Y1(βx),Y2(βx),Y3(βx)和Y4(βx)是4个克雷洛夫函数.

    通解(1.4)是解决如图1所示的问题的:

只要利用边界条件决定了v0,θ0,就完全决定了问题的解.

    文[1]已经指出,弹性基础梁的分类只是大致范围,而且还存在其它分类.例如,Lancaster和Mitchell的分类是:短梁,;无限长梁,βl>π.而朱诚建议:短梁,βl<0.8;有限长梁0.8<βl<6;无限长梁,βl>6.我们未见文献中对这几种分类进行比较.另外,文献[1]也未给出上述分类的详细论证.本文就3种荷载作用下的有限长弹性基础梁讨论它的分类问题.讨论必然会遇到这些问题:如何客观地描述近似解的近似程度以体现工程上的要求?当有限长梁可视为无限长梁时是选择半无限长梁的解还是用无限长梁的解呢?现有的有限长梁分类合理吗?合理的分类又是什么?本文的讨论直接地或间接地回答了上述所有问题.我们的讨论表明现有的分类都是不合理的.这一结论的基础是何种近似解才算是允许的这一客观标准.我们根据大量的数值计算结果,提出了实用且合理的客观标准,才使这问题可以被解决.我们认为,无限长梁的解是可用的,如果它和有限长梁的实际解曲线重合;刚性短梁的解可用,如果端点或中点的挠度的相对误差不超过5%.用刚性短梁的解近似有限长短梁的解时这些点的误差一般最大.

    2　弹性基础梁的分类

    我们分3种基本情况来讨论上一节提到的3种分类的合理性.

    2·1　梁左端受集中力和集中力偶矩作用

    见图2.

随βl的变化的情况,从而确定(2.9)式的相对误差同时小于5%的βl值,它即为此情况下,可用半无限长梁解作近似的界限.然而,这种办法行不通,因为v(l)可能为0,因此相对误差此时就不能表征实际的误差.由于我们也不能给出一个普遍接受的绝对误差的标准,因此我们只能以Maple软件作图时两曲线重合时的允许绝对误差(约为)作为选择βl的界限的绝对误差标准.这一标准考虑了v(0)的实际大小的影响.通过计算βl=3,4,5,6,7,8,9,10的v(x)和v′(x)的重合情况表明,当βl≥6时,v(x)和v′(x)两条曲线重合.这说明可用半无限长梁的解作为βl≥6的有限长梁的近似解.图3和图4分别给出了βl=3,5,6,7时v(x)和v′(x)的曲线(0≤βx≤βl),横坐标是βx,纵坐标为v(x)或v