局部劣化弹性薄板的损伤识别研究

　　在结构工程中,大量结构构件需要进行裂纹或缺陷检测,有很多实用的办法,如超声波探伤、辐射、电磁波检测技术等。这些手段统称为无损检测,在有些场合,它们确能给出缺陷或裂纹位置及大小的较精确估计,但所提供的信息通常很有限,因此识别损伤位置及程度的数学物理反问题研究很有必要。对一维梁含缺陷的识别研究目前已有了较为可喜的进展,由于二维板比一维梁的弯曲形式复杂,故研究二维板的局部劣化物性识别难度更大。1995年,S C Mellings对二维板内部裂纹的位置及大小的识别问题提出了一种新的边界元法,由于问题较复杂,目前只是一个理论算法。1994年,N K Anifantis对环状板含表面环向裂纹用局部旋转角的变形来模拟,进行了振动分析。计算出来的局部刚度与用应变能对梁一类结构计算出来的刚度非常接近,由于裂纹的存在,使板的基础固有频率减小,其结果用来识别环状板的裂纹。本文试图从数理方法和力学分析的角度,对二维含损伤的线弹性板进行损伤位置及程度的识别研究。

　　1　含损伤板的偏微分方程

　　各向同性的二维线弹性板局部出现劣化(损伤或缺陷)的话,显然会削弱板的截面及板的抗弯刚度,使得板的抗弯刚度D不再保持为一个常数,而是坐标x,y的函数。本文把对局部劣化区的物性识别问题转变为对板的抗弯刚度的识别问题进行研究。

　　对各向同性线弹性板用挠度表示的弯矩和扭矩表达式如下:

　　由于局部劣化区的存在,注意到抗弯刚度D(x,y)是x,y的函数。将(1)式代入平衡方程经整理得:

　　其中B是x,y平面上的边界区域,是B的边界,Γk是对应边界的边界算子。

　　2　含损伤板的参数识别迭代公式

　　设D(0)(x,y)为待识别参数D(x,y)的初始值组成的向量,W(r)为实测点处的位移组成的向量。

　　其中 δD(r) < D(r) , δW(r) < W(r) ,将(4)式代入(2)式,忽略δ2以上的高阶项,可以得到关于W(r)边界值问题的近似方程:

　　于是(7)式与(8)式重新写为:

　　该方程的解就是格林函数G(r)(x,y,x′,y′),其中L是方程(7)或(9)式中的偏微分算子。格林函数G(r)与方程(7)或(9)式右端-f(x,y)的卷积就是原方程(7)或(9)式的解δW(r)。即:δW(r)=G(r)*[-f(x,y)]

　　方程(4),(5),(6)及(13)式是每次迭代所需要的基本方程,边界值问题(5),(6)式是对常系数偏微分方程进行正分析,可以由解析法求出W(x,y),对第一类Fredholm积分方程离散化,最终化为一个关于δD的代数方程。

　　其中已知M(W,G)中的各元素。如果该矩阵是病态的,则需要进行正则化。R(r)(x,y)是理论挠度W(r)与测点挠度W*之差。δD(r)(x,y)是未知向量,它包含了每个测点的弯曲刚度值。每次迭代时,首先求解正问题(5),(6)式及格林函数G(r),然后求解第一类Fredholm积分方程经离散后的代数方程,直至位移收敛为止。