基于卷积型积分方程的时间有限元法

　　对于形如式(1)和式(2)式的线弹性动力体系初值问题的研究,很早以前人们就讨论过采用低阶插值算法的求解过程,但所得的计算结果总是不稳定收敛或无条件非稳定收敛的.

　　式中:M、C和K分别为体系的质量矩阵,阻尼矩阵及刚度矩阵;u、f分别为体系的位移向量及荷载向量.

　　本文从时间域的一个时间单元段入手,采用三次Hermitian插值多项式逼近节点位移,并采用二次La-grangian插值多项式逼近节点荷载,建立一种无条件稳定收敛的时间有限元法计算格式.

　　1　算法计算原理

　　将整个时间域T分为N段,任取第n段时间单元段进行讨论(文中下标-n均省略未写),对方程(1)两边求导可得

　　位移向量近似采用三次Hermitian插值函数逼近

　　在时间单元段的t=Δt时刻将式(6)和式(7)代入式(1)和式(3)～(5)整理可得

　　根据式(8)和式(9),由u0、v0就可计算出u1、v1,而相应的f可由下式计算而得

　　式(8)和式(9)即为求解动力响应问题的无条件稳定收敛的计算格式.式(10)中的矩阵D1、D0和H分别为D1=

　　式中:I为单位对角矩阵.

　　将矩阵D1分解为两个三角矩阵X和Y的乘积形式

　　则式(10)可采用分解法求解而得.这种方法在进行计算时可节省很大一部分内存空间.

　　2　算法稳定性分析

　　方程(1)中的阻尼矩阵通常假设成和质量矩阵或刚度矩阵成线性关系或两者的组合形式.同时,可将方程(1)化为一系列单自由度体系形式的方程

　　由此,就可通过考察单自由度方程来分析算法的稳定性.这时对应于方程(10)中的矩阵D1、D0为2×2矩阵,假定A=D-11D0,则

　　由稳定分析理论可知,一种算法的稳定性取决于该算法所采用的递推格式中逼近算子谱半径的大小,而上式A即为文中所导出的递推计算格式的逼近算子.对应于矩阵A的特征方程的特征根为

　　观察特征根的模可得

　　式(22)～(24)说明了上述算法的无条件稳定性.由方程(22)还可看出,当忽略外界阻尼的影响时该计算格式仍然是稳定的.

　　3　算法收敛性分析

　　对收敛性的证明分为两步.第一步先算出递推格式的计算结果同展开为泰勒级数形式的真实解之间的截断误差,然后为累积截断误差寻找一个上限,求出其所具有的最低阶次.

　　以下推导过程中精确解用上标*表示,为计算当前截断误差,将用到f0、f1/2、f1、u*1和u。1的泰勒展开式.将式(8)和式(9)中的u0、v0、u1和v1代替u*0、v*0、u*1和v*1,则可求得对应于式(9)的算法截断误差RU及对应于式(8)的算法截断误差RC,并将两种截断误差用向量形式表示为