阶梯形变截面梁弯曲变形的一种新解法

　　设有一阶梯形变截面梁,受到任意的横向荷载作用,分别为EI₀,El₁…,EI_n。以梁左端点为原点建立坐标系如图1所示,各段梁的抗弯刚度xoy,写出该梁的弯矩方程M了x),则初始段和第1段梁的挠曲线近似微分方程分别为

将式(2)改写成以下形式，并且方程的适用范围包含了初始段:

 （3）

同理，第i(i=2，3…，n)段梁的挠曲线近似微分方程亦可改写成以下形式:

式(4)从0到x积分一次，并注意当，得到阶梯形变截面梁的转角方程θ(x)的统一表达式如下:

式(6)从0到x再积分一次,并注意当x=0时,y=y₀,得到阶梯形变截面梁的挠曲线方程y(x)的统一表达式如下:

式中y₀、θ₀为梁左端的初参数,由梁的支承边界条件确定。从式(4)和式(7)可以看到,只需将梁的弯矩方程M(x)转换成式(4)右边的形式,这相当于把截面突变的梁转化成了在梁原截面突变处有弯矩增量的等截面梁,因而求解阶梯形变截面梁的挠曲线方程y(x)和转角方程θ(x)的问题,就转化成了求解抗弯刚度为EI0的等截面梁的挠曲线方程夕(x)和转角方程θ(x)的问题。此方法物理概念明确,简单实用。

　　例1如图2所示阶梯形变截面梁,受集中荷载尸作用,求其挠度曲线方程。

　　解:设梁的EI0=ZEI,EI=EI,4个初参数的值为y0=0,θ0=0,M0=一Pl,Q0=p,则该梁的弯矩方程M(x)为:

　　将其代人式(7)得挠度曲线方程为

　　由上式得自由端挠度值与文献（1）的结果相同。

　　例2如图3所示阶梯形变截面梁，受均匀分布荷载9作用，求其挠度曲线方程。

　　解:设梁的4个初参数的值为，则该梁的弯矩方程M(x)为:

将其代人式(7)得挠度曲线方程为

　　由上式分别算出截面突变处挠度值用图乘法校核计算结果正确。

　　参考文献:

　　(1)铁木辛柯.材料力学「M].北京:科学出版社，1978. 240.

　　作者简介:向群( 1969-)，女，四川何江人，讲师，硕士，主要从事土木工程方面的研究.

　　收稿日期:1999-05-05