深梁和中厚板的单广义位移解法

　　1　概　述

　　梁和板是工程结构中应用最为广泛的构件,经典的梁板弯典理论已有100多年的历史,但由于其没有考虑到横向剪切变形的影响而只能适用于细长梁和薄板.随着工程技术的发展,短粗梁和厚板的问题越来越多,特别是涉及到高阶振动时,梁和板的有效跨度将大大减小,使得表面上看来是细长梁和薄板的问题,实际上也成为短粗梁和厚板的问题.人们发现,在这类问题中,横向剪切变形起着不可忽视的作用,因此,Timoshenko[1]于1921年提出了具有两个广义位移的深梁理论,Reissner[2]于1944年提出了具有三个广义位移的中厚板理论.这类理论均将转角作为独立的位移变量,考虑了横向剪切变形的影响,但由于忽视了转角与挠度之间的内在关系.与经典理论存在着位移的独立性与不独立性的矛盾,只能适用于短粗梁和中厚板,这给实际的工程应用带来了一定的不便.本文拟从基本假设出发,就既能适用于细长梁和薄板,又能适用于短粗梁和厚板的通用有限单元,且只有一个广义位移的梁板弯曲问题作一初步探讨.

　　2　单广义位移的深梁解法

　　2.1　基本假设

　　取梁的中心线为x轴.梁的挠曲面为xy平面,对梁的变形情况作如下假设:

　　(1)梁的中性轴的轴向位移不计,y方向的挤压变形不计;

　　(2)变形前垂直于中心线的平面在变形后仍保持为平面(不一定垂直于挠曲线);

　　(3)剪切转角C随x的二阶变化率不计.

　　2.2　基本公式的推导

　　根据弹性理论的几何方程.剪应变为

　　位移分量为

　　因为w仅为x的函数,且根据假设(1),有f(y) = 0,所以

　　其中,ψ即为梁的转角,根据物理方程和平衡条件,梁中的弯矩和剪力为

　　式中,D=EI为梁的弯曲刚度,根据假设(3),C的二阶导数为零,又由假设(2),C取横断面上的平均值,有

　　其中,C=GAk′为梁的剪切刚度,k′为剪切系数,对于特定的截面形状由剪切应变能相等的原理得到.对于矩形截面而言,k′=.将上式回代到前面各式,可以得到梁中物理量与挠度的关系为

　　且平衡方程为

　　2.3　几种简单梁的解析解

　　(1)均布载,两端简支:

　　(2)均布载,两端固支:

　　(3)均布载,悬臂梁:

　　(4)悬臂梁,自由端集中力:

　　(5)两端简支,中点集中力:

　　(6)两端固支,中点集中力:

　　2.4　单广义位移深梁解法的适用范围

　　下面以中点受集中载的简支梁为例验证本文理论的适用性.梁的横截面是以a为边长的正方形,分别采用两种理论用有限元方法进行计算,共划分20个单元,挠度用三次函数插值,可导出单元刚度矩阵的显式.另一种方法则采用具有两个广义位移的梁理论,挠度和转角均采用线性插值.计算结果见图1,图中结果是以梁中心挠度与经典理论值之比给出的,横坐标为梁的截面尺寸与梁长之比.