变截面梁弯剪振动的传递矩阵法求解

    引言

    梁的振动问题一直是力学界研究的重要对象,在梁内由于某种外载荷引起梁内产生内力,同时产生弯曲变形。描述内力的物理量有弯矩M及剪力S,描述变形的物理量有挠度y,转角。如果按以前的方法来分开求解内力和变形,计算太繁冗。特别是对于变截面梁,除了个别特殊情况之外,解析解无法求得。本文采用传递矩阵法,将这4个变量统一于一个矩阵表达式中,通过相关软件如MatLab使得变截面梁的求解简单明了。

    1　传递矩阵法

    梁的弯剪振动模型包含4个状态矢量:挠度y、转角φ、弯矩M及剪力S[1]。即

    Z=[y　φ　M　S]^T

    将整个梁离散成图1的集中质量体和无质量梁。每段作为等截面来处理。

    1.1　对于集中质量体

    受力如图2。由平衡条件得　M^R=Mi^L

    转角φ为弯矩M引起的转角θ和剪切力S引起的转角γ之差[2],即

    在质量集中体上只考虑剪切效果引起的转角,由

    S=κA(x)Gγ

式中,A(x)为横截面积,G为剪切弹性模量,κ为取决于横截面形状的数值因子。对此等截面微段取微分

    由于只考虑剪切角,可令θ=0,则总的转角φiR=-γiR,代入上式得　

    由位移连续条件,得　　yi^R=yi^L

    可得出点传递矩阵C_iP

    1.2　对于无质量梁单元

    如图3所示,由平衡条件

根据材料力学,有　M(x,t)=EI(x)( θ)/( x)只要分段数足够大,可以将此单元当成均匀梁,有

    M=EIi(d²y/dx²)=EIi(dθ/dx)

得出转角

   在此无质量梁段中,剪切力引起的转角为γ=0,

    同理可得频率方程为

　Δ即系统的频率函数,解此函数可得到系统的各阶固有频率ω。将ω代入式(4)即可以求得主振型。

    2　悬臂梁算例

    考虑一半楔形梁,截面积A(x)=t·2b(1-x/2L),厚度t=0.2m,楔半高b=0.2m,长L=0.8m,材料为普通碳钢,弹性模量E=2×10⁵MPa,密度ρ=7.8×10³kg/m³。对矩形截面取κ=6/5,泊松比μ=0.25,计算前三阶固有频率和部分主振型,结果如表1所示。

    3　结束语