SH波入射双相介质半空间浅埋任意位置圆形夹杂的动力分析

    SH 波作用下局部地形对其附近浅埋结构的动力影响问题，作为地震工程学及地下结构抗震与抗爆理论研究的基础课题之一，具有重要的理论意义和应用价值。对 SH 波作用下浅埋结构动力问题的解析解研究，人们已经做了大量的工作[1―6]，如浅埋孔洞、夹杂、衬砌结构。而对于浅埋结构中含有双相介质界面问题的研究并不多见[7―8]，且以往对双相介质界面的研究多集中在全空间中[9―13]。因此，本文采用复变函数及 Green 函数方法研究了 SH波作用下双相介质弹性半空间内浅埋任意位置圆形夹杂的散射问题。由于双相介质界面的存在，故在分析时需按照“契合”的思想，将半空间沿界面处剖分，此时问题将转化为两个直角域。考虑到由夹杂产生的散射波将在直角域两个自由边界产生多次反射与折射，则需采用文献[14]提到的“镜像叠加”原理构造一个自动满足直角域应力自由边界条件的散射波解。最后给出了圆形夹杂周边动应力集中系数的算例和数值结果，并对其进行了讨论。 

    1 构造 Green 函数

    本文采用的 Green 函数是一个含有圆形弹性夹杂的均匀、各向同性的二维直角平面区域垂直边界表面上任意一点承受时间谐和的出平面线源荷载01  ( z   z)时位移的基本解，如图 1 所示。

引入复变量 z   x   iy， z   x   iy，位移函数0G ( z , z )与时间的关系为 exp(   i  t)。在复平面( z , z )上，介质内位移场满足控制方程：

式中： /sk    c为波数；为介质的剪切波速；  为位移函数的圆频率； 、   分别为介质的剪切弹性模量和密度。

    在极坐标下的应力表达式为：

边界条件可以表述为：

其中：   (  ) 为 Dirac-Delta 函数；rz  、rz    为夹杂内外总径向剪切应力；G 、G   为夹杂内外总位移。

    满足控制方程式(1)和边界条件式(3)的位移场基本解，由两部分构成：直角平面区域垂直边界表面线源荷载产生的扰动和圆形弹性夹杂所激发的散射波。对于线源荷载01  ( z   z)在一个完整的直角域内的扰动，可将其视为入射波( i)G ，使其满足不含圆形弹性夹杂的直角平面域边界应力自由条件，采用文献[14]中提到的“虚设点源”及多极坐标移动技术来构造，因此入射波可以表述为：

H (  ) 为零阶第一类 Hankel 函数；0z 、z 分别代表源点和像点的位置。

    入射波相应的应力表达式为：

    由于圆形弹性夹杂所激发的散射波将会在弹性夹杂和直角平面区域自由表面上发生多次反射，致使能满足直角域边界应力自由条件的波场解析解很难给出。为了克服这一难点，采用“镜像”法及多极坐标移动技术将其构造为：