多维测量结果不确定度评价方法初探

　　在测量实际中,空间坐标、物质组分、系统多状态参量等的测量结果都是以多维矢量形式出现的,将不确定度理论应用于多维测量结果质量评定是一个较前沿的研究方向[1,2]。国际标准化组织等发布的《测量不确定度表达指南》的主体部分并没有提出多维量测量结果不确定度评定的相关理论,但为贴近测量实际,在其附录H中给出了多维测量的相关例子[3]。

　　多维测量结果中,每个分量除自身的自不确定度外,各分量之间由于存在相关性,还具有所谓互不确定度。若采用传统的不确定度评价方法,对每一维分量分别进行评定,得出的将只是这些分量的自不确定度。为使评定结果更符合实际,往往还应给出多维分量间的相关系数。由于计算时需要对每一维分量分别考虑,特别是间接测量情况下,在应用不确定度传播律计算最终测量结果的不确定度时,需对每一维分量分别予以计算,最终得到不确定度和相关系数,使得这种评定和表示方法不仅计算复杂、表述形式不够整齐划一,且最终结果的整体意义也不太明确,而最关键的是,难以采用一个统一的标准整体衡量不同多维测量结果质量的好坏。

　　为解决上述问题,本文提出了一套多维测量结果的不确定度评价方法。首先对多维情况下的不确定度传播律进行推导,然后就多维不确定度的意义及不同多维测量结果质量的比较方法加以分析,接下来给出两种常用多维测量方式——等精度和不等精度独立多维测量的不确定度评定方法,最后采用具体算例给以验证。

　　1　多维不确定度表示方法及其传播律公式的推导

　　一维测量结果的A类标准不确定度采用方差或标准差描述,相应地,多维测量结果的A类标准不确定度可由方差阵或其正平方根来表征。本文采用方差阵,其对角元是以方差描述的多维测量结果各分量的自不确定度;非对角元是以协方差表征的多维测量结果各分量间的互不确定度。为推导多维不确定度传播律,首先应对多维映射进行描述,其一般形式为

　　其中JX(X₀)为F(X_n)的Jacobi矩阵在X₀点取值。对式(5)等号两边取方差,有

　　应用协方差运算的相关性质对式(6)和(7)进行化简，可得V(Ym)中任一元素

　　这样就得到了显式多元映射关系下的多维不确定度传播律公式。

　　当式(3)表示的映射为隐式映射时,根据多元隐映射的求导法则,有

　　其中:JYm(X₀,Y₀)和JXn(X₀,Y₀)分别是隐映射F关于X_n和Y_m的Jacobi矩阵在点(X₀,Y₀)的取值。需要说明的是,此时X₀仍由式(4)给出,但由于此时F为隐映射,求对应的Y₀时,往往需借助数值解法对隐映射确立的方程组进行求解。