端部约束悬臂输流管道的动力学特性

　　对于两端支承输流管道，Holmes[1]用 Lyapunov直接法严格证明了在定常流作用下不会发生颤振失稳;对于悬臂输流管道，在定常流作用下会导致颤振而动态失稳，已有许多文献从多种角度分析和探讨了这种失稳振动的特性[2―5]。但是对于端部弹性约束下的悬臂输流管道，由于支承条件的改变，其动力特性与悬臂管道有所差异，从悬臂管道的非保守系统逐渐变为两端支承的保守系统。Sugiyama等人[6]使用线性弹簧来模拟这种运动约束，利用理论和实验的手段，在考虑管道材料阻尼的前提下，分析了这种弹性支承对悬臂输流管稳定性的影响。他们发现，管道受到这种运动约束后，反而更加容易失稳，即随着弹簧刚度的增大，临界流速却呈现下降趋势。同时还发现，与其他位置相比，将弹簧约束置于管道自由端时的影响最为明显。而且线性弹簧的存在，还可能使管道失稳的方式从颤振变为屈曲。倪樵等人[7]利用微分求积法(DQM)计算了具有弹性支承悬臂输流管的颤振和屈曲失稳临界流速，并分析了系统各种参数对临界流速的影响。

　　本文研究如图1 所示的端部受到线性弹簧支承和扭转弹簧约束的“约束悬臂输流管道”。文献[8]采用微分求积法对其稳定性进行了分析。本文在文献[8]的基础上，根据梁模型横向弯曲振动模态函数一般表达式，由边界约束条件得到其模态函数的一般表达式，采用 Galerkin 法将运动方程在模态空间内展开，然后根据动力学的分析方法，研究这种端部约束悬臂管道从非保守系统逐渐变为两端支承保守系统过程中的动力学特性。

　　1 运动方程

　　如图1 所示，端部受弹簧支承和约束的悬输流管道，管壁为 Kelvin-Voigt 粘弹性材料、研究管内流体压力效应和管截面轴向力作用，其梁模型横向弯曲振动方程为[8―9]：

　　式中：y 为管道横向位移;μ 为管道粘性系数;EI为管道抗弯刚度;mf为单位长度上管内流体的质量;m 为单位长度上管道的总质量;P 为流体压强，T 为轴向力;Af为管道过流截面积;U 为管内流体流速;ν 为泊松比。

　　引入如下无量纲量，同时在小变形条件下考虑定常流情况，将方程(1)化为无量纲形式：

　　方程(4)两边同乘以模态函数然后在区间[0,1]上进行积分，经过计算和整理后可得：

　　2 模态函数及频率方程

　　梁模型横向弯曲振动模态函数一般表达式为：

　　式(9)是关于Ci的线性方程组，它有非零解的唯一条件是其系数行列式为0，展开后可得

　　此即为频率方程，它是关于基本未知量 λ l的超越方程，用数值方法(如对分法)解此方程可得到系统的各阶特征值λ il。