MEMS微梁静电致动器的力学特性研究

    随着微机电系统(MEMS)的快速发展,对准确、快速的设计仿真工具的需求越来越强烈。但由于MEMS器件多为多物理场耦合问题,因此采用常规的有限元方法不但计算量大,而且准确性降低。这时就需要采用巧妙的仿真技术来降低模型的阶数和参数,一般称作降阶建模(ROM)法。ROM法的主要目的就是在保证准确性的前提下,减小计算量、提高计算速度。降阶的方法在工程计算中已有很长的历史。模态叠加法^[1,2]根据模态分析得到的自然频率和模态形状函数计算结构在外界激励下的瞬态和稳态响应。但该方法一般仅限于线性系统。ROM法采用模态组合来替代耦合域,因此可看作是模态叠加方法的延伸。Mehner等人采用ROM法计算了微镜阵列中,微镜的位移及转角与驱动电压间的关系等一系列问题[3]。本文采用该方法研究了MEMS微梁静电致动器的翘起、固有频率及吸到基底的阈值电压等问题。

    1　降阶建模方法

    对于复杂的连续系统问题,一般没有解析解。变形量u通过将各阶模态的变形乘以一个权重因子,然后累加得

其中　q_i为广义坐标,在这里为随时间变化的基函数的幅值;φ_i为第i阶模态的基函数,在这里为系统的特征模态。u_eq为系统在初始预应力作用下达到平衡时的变形量;m为考虑的模态阶数。这样系统的变形就可以通过m阶模态的线性组合得到。各阶模态的运动方程为

    由于应变能E_mech和电场能E_elec依赖广义坐标q_i,因此通常情况下,式(3)是耦合的,此时就需要提取一些特征模态来代替结构的动态特性以简化计算。

    1.1　基本模态的选择

    计算中,基本模态的选择分为采用测试载荷进行选择和直接提取两种方法。对于采用测试载荷的情况计算过程为:首先在计算中设定测试载荷的类型(一般为外力)和数值,程序就会计算系统在测试载荷下的变形,最终确定各阶模态的贡献因子。而对于无测试载荷的情况,一阶特征模态直接作为基函数。而其他模态的选择要满足该模态的最大位移在工作方向上要超过结构振幅的50%。各阶模态的最大和最小变形量由下式确定,即

其中D_max/min分别为结构的最大和最小变形量。

    模态选择结束后,被选中的各阶模态根据它们对系统的贡献分为主导模态和相关模态两类。

    1.2　应变能函数和静电能函数的拟合

    通过函数拟合将计算得到的有限元数据表示为ROM法使用的元素矩阵。ROM法采用多项式来拟合应变能函数。对于线性系统,应变能函数采用二阶多项式描述[1];而对于应力强化问题,采用四阶多项式才能达到足够的精度[2]。能量函数的拟合过程就是求解多项式系数nc,即满足