集中载荷作用下四直边上任意点支承矩形板的弯曲

0　引言

四直边上任意点支承的矩形板的弯曲问题在 机械、土建等工程问题中有着广泛的应用,例如高 台建筑等,研究这一问题具有重要的实际意义.文 献[1]曾采用叠加法对均布载荷作用下一边固定 其对边中点被支承,而另两边自由的矩形板弯曲 问题进行了研究.文献[2]应用瑞雷-李兹法,通 过假设容许位移,求解了在均布载荷作用下四直 边中点支承方形板的弯曲问题.由于猜测容许位 移的方法是没有普遍意义的,并且求出的是近似 解,还需要研究其近似程度.本文基于薄板弯曲的 广义简支边界条件[3],将集中载荷作用下四直边 上任意点支承矩形板的弯曲问题分解为6个基本 的薄板弯曲问题,应用叠加法给出了问题的解析 解.本文的求解方法能够较容易地推广到求解其 它类似问题.

1　理论分析

对于任意一个矩形薄板,假定其边长为a和 b,在任意一点(x0,y0)处作用有集中载荷P,在其 四条边上的任意一点处作用支承约束,其位置如 图1所示.

根据弹性理论,薄板的控制方程为

式中:;E为弹性模量;ν为泊松比;h为板的厚度;W为板的挠度.

根据文献[2]的有关结果,该问题的边界条件可以写为以下形式:

式中:R1和R2,R3和R4分别为支承点的支反力;αm=mπa;βn=nπb.此外,由于薄板的4个角点均自由,其集中力为零.因此,在角点上还应满足以下条件:

一般来说,边值问题(1)~(13)的求解是十分 困难的.我们基于薄板弯曲问题的广义简支边界 条件,将该问题分解为以下6个基本问题分别进 行求解.在此基础上,应用叠加法可以得到该问题 的解答.

(1)假定矩形板的四边均为简支,在点(x0,y0)处作用集中载荷P,则板的弯曲面为

或者为另一组等价的表达式

(2)假定板边x=0为广义简支,其它三边均为简支,并设沿x=0边上的挠度为

(3)假定板边x=a为广义简支,其它三边均为简支,并设沿x=a边上的挠度为

　(4)假定板边y=0为广义简支,其它三边均为简支,并设沿y=0边上的挠度为

(5)假定板边y=b为广义简支,其它三边均为简支,并设沿y=b边上的挠度为

(6)由于板的4个角点都是自由角点,所以各边都有刚体位移,其对应的板的弯曲面为