粘弹性中厚板非线性动力方程

弹性板壳非线性动力学发展至今已臻成熟,与粘弹性力学的结合产生了粘弹性板壳非线性动力学 问题。当几何关系为线性、本构关系为线粘弹性时可运用Laplace变换,将现实空间粘弹性问题变换为 相空间的弹性问题,即粘弹性-弹性对应原理,而对于非线性问题,粘弹性-弹性对应原理不再适用,只 有通过几何方程、本构方程和平衡方程直接推导。 对于弹性中厚板几何非线性问题,傅衣铭等[1]在Karman理论的基础上,讨论了一般分析与计算的 方法;阐述了非线性振动,动力响应,动力稳定性,分岔及混沌运动的动力学特征;同时,也讨论了非惯性 参考系中板壳的有关非线性动力学问题。 对于粘弹性薄板几何非线性问题,程昌钧等[2]综合利用动力系统的经典方法,揭示了粘弹性矩形 板横向周期载荷作用所具有的动力学行为。 对于粘弹性厚板几何线性问题,杨正文、杨挺青[3]导出了粘弹性厚板的动力方程。 对于非线粘弹性薄板的几何线性问题,David Touati等[4]运用Lyapunov指数分析了它的动力稳定 性,其中,材料的本构关系采用了Leaderman表示法,讨论了各参数对稳定性的影响。 本文从动力学基本方程出发,采用粘弹性积分型本构关系,在Poisson比为常数的假设条件下,导出 了线粘弹性Timoshenko中厚板的非线性动力方程。由此方程,可以简化得到若干简单情况下板的动力 方程。

1　基本关系与公式

1.1　中厚板的几何非线性关系

按三维理论来分析板的问题十分复杂,必须采取一 些假设。薄板理论基于Kirchhoff假设,忽略了横向剪切 变形的影响。中厚板理论则从薄板理论出发而对Kirch- hoff假设进行修正,例如Hencky理论、Reissner理论、 Timoshenko理论、Mindlin理论、胡海昌理论、Dennel-杜 庆华-Pancl理论等[5]。本文采用Timoshenko理论。 Timoshenko假设:①垂直于中面方向的正应变εz 极其微小,可以忽略不计;②变形前垂直于板中面的任一直线素,在变形以后仍为一直线,但相对于其 原有方向转了一个角度;③应力分量σz比σx、σy、τxy小得多,以致可以忽略不计。根据这些假设,对于 图1所示中厚板,当笛卡儿坐标系oxyz置于板的中面时,板内任一点在任一时刻t沿3个坐标方向的 位移分量u、v、w可以表示为[1]:

1.2　本构关系

Boltzmann算子定义为:

1.3　中厚板运动微分方程

考虑图1所示的中厚板,质量密度为ρ0,设板在上表面承受与坐标z方向一致的分布荷载q= q(x,y,t),由于板的面内运动惯性项的影响远小于横向运动惯性项的影响,可将面内惯性项忽略不计, 中厚板的运动微分方程可取为:

2　推　导