静力凝聚法解叠层厚板的自由振动问题

　　0　引　　言

　　叠层复合材料结构广泛应用于各种工程技术领域,其力学行为分析将为工程技术人员提供有用的结构设计数据。由于复合材料的横向剪切效应比较显著,有必要应用考虑剪切变形的高阶理论。文献[1]采用平截面假设,引入两个独立的角位移分量,在厚跨比不是太大时获得了较好的结果。文献[2,3]应用该理论求解了叠层各向异性厚板的静、动力问题。为了能较好地求解大厚跨比问题,文献[4]对叠层板的每一层都假设了形如文献[1]的位移场,然后在层间引入连续条件。文献[5]提出了包含剪切变形、剪切斜率和剪切曲率的高阶理论。这些高阶理论不仅增多了未知量,进而导致不宜给出问题的解析解,而且在采用有限元法求解时计算工作量会大大增加。本文用一个三次函数来拟合截面的非线性变形性态,提出一种改进的叠层板理论,并对两种特殊的叠层和相应的边界条件,给出了叠层复合材料厚板的解析解。文中还针对复合材料叠层板的特点,采用静力凝聚法消去平面内位移和转角自由度,从而减少了计算工作量。这一方法在有限元分析时将会更加有效。文中的算例给出了比较满意的结果。

　　1　位移函数和基本公式

　　将叠层板域内的位移函数假定为

其中,u₀,v₀和w分别表示板中面沿3个坐标方向的位移,ψ_x,ψ_y分别表示x和y方向的剪切角,f(z) =表征了截面的非线性变形,h为板的厚度。忽略挤压应力的影响,相应的应变和应力分量分别为

(3)式中的下标k表示叠层板的第k层,而诸弹性常数由组分材料的力学性能、铺设角以及纤维与基体的体积比所决定。根据(3)式可以计算中面的内力分量以及系统的动能和应变能,简记为

　　其中,内力分量以及质量和刚度矩阵的元素均与下列系数有关。

 (6)

其中,ρ^(k)为第k层的平均密度,zk+1和zk分别为第i层上下表面到中性面的距离。若叠层板为正交铺设,有(A,B,E,F,G)13= (A,B,E,F,G)23= 0。

　　对边长分别为a和b的矩形板而言,在下列简支边界条件S₁

下,设解

(6)

　　其中,ξ=mπ/a,η=nκπ/b,m、n分别为x、y方向的振型阶数。对反对称角铺设而言,有(A,F,G)13=(A,F,G)23= 0,(B,E)11= (B,E)12= (B,E)22= (B,E)33= 0,在下列简支边界条件S₂

　　当叠层板作固有振动时,将(8)式或(10)式代入(5)式,再根据哈密尔顿原理,对于每对(m,n)都能得到如下的特征值方程

式中的矩阵元素与(6)式中的诸系数有关,如K₁₁=A₁₁ξ²+ 2A₁₆ξη+A₆₆η²,　M₁₁=a₀,　M₃₃=a₀+f₀(ξ²+η²)等等,在此不一一给出。解上述特征值问题即可给出叠层板的自振频率。