圆孔平板的弹塑性力学及有限元分析

    1　引　言

    物体受到荷载作用后将产生变形。当荷载不大时,卸载后物体的变形可以全部恢复,即保持原有的形状和尺寸,这种可以全部恢复的变形称为弹性变形[1,2],此时物体处于弹性阶段。当荷载超过一定限度时,在物体某些部分内,任意点上的应变将不随应力的消失而恢复,物体将产生不可恢复的变形。这种不可恢复的变形称为塑性变形[3-5]。在加载过程中,当物体的一部分产生塑性变形时,即进入塑性状态,称该部分为物体的塑性区,未进入塑性状态的区域则为弹性区。

    有限元法是把连续介质离散成一组单元,使无限自由度问题转化成有限自由度,利用计算机进行求解[6,7]。本文对圆孔平板的受力性能进行理论分析和有限元数值模拟,为其设计及应用提供参考依据。

    2　研究问题概述

    本文研究带圆孔矩形平板在轴对称拉力作用下的平面应力问题。平板开孔的应力问题是弹塑性力学平面中的一个经典的问题,也是实际工程中常见的问题。圆孔平板长6 in (英寸)、宽4 in、材料弹性模量为3e⁷、泊松比为0·3,受2 000 psi (磅/平方英寸)的单向对称拉力,具体几何参数及受力图,见图1。

    3　基于弹塑性力学的解析解

    塑性力学与弹性力学密切相关,弹性力学中的一些基本假设以及关于应力、应变的分析,与材料物理性质无关的基本概念,都将在塑性力学中得到应用,两者的差别主要表现在应力与应变的物理关系,即本构关系上。

    3·1　弹性分析

    鉴于本文研究对象的几何特性,在计算时采用极坐标求解,从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化。由齐尔西的解答得,各应力分量为:

式中,σr为径向正应力;σθ为环向正应力;τrθ为剪应力;a为圆孔半径;r为径向坐标,θ为环向坐标。

    沿着圆孔边,即当r = a时,由式(1)的第2式可以得出,其环向应力σθ为:

    σ_θ= q(1-2cos2θ)     (2)

    当给定不同的θ值,可得到沿孔边各点的环向应力值σθ,计算结果如表1所示,环向应力分布状况如图2所示。

　　通过圆孔圆心,当θ=π/2的横截面,即图1中AB段,由式(1)第2式得环向正应力σ_θ为:

    AB段上各点的环向应力值σθ,如表2所示,分布状况如图3所示(图中以r=0·75 in为横坐标的零点)。由式(1)可知随r增加σθ和τrθ迅速减小,σθ由最大值很快接近于平均应力q。

    3·2　塑性分析

    在圆孔无限大平板受轴对称拉伸时的塑性平衡可知:剪应力τrθ为零,边界条件为: r=a,σr=0;r^→∞,σr^→∞。因此,其平衡方程为: