层流和紊流流态下对输流管道运动方程的修正

　　输流管道是流固耦合研究领域中的一个经典问题，也被称为动力学中的一个典范和万花筒[1]。输流管道模型和方程的建立是其中的一个基础和关键问题，一直受到研究者的重视[1-6]。迄今为止，所提出的各种输流管道运动方程均采用理想流体模型，未考虑实际流体流速非均匀分布的影响。

　　本文根据层流和紊流流态下的圆管流速分布公式，对输流管道运动方程中的流体离心力项提出修正，并研究不同情况下流速非均匀分布对输流管道发散失稳和颤振失稳的临界流速的影响。

　　1　不同流态下对输流管道运动微分方程离心力项的修正

　　输流管道运动方程的最简单形式为[1-3]

　　其中：w=w(x，t)为t时刻轴线坐标x处的挠度，E为管道弹性模量，I为管道横截面惯性矩，m、M分别为单位长度上管道和流体的质量，U为管内流体的平均流速。方程(1)的无量纲形式为

　　其中：L为管道长度，β称为质量比，υ称为无量纲平均流速。方程(1)左边各项分别代表管道的弹性恢复力、流体离心力、流体科氏力和流体与管道的惯性力。方程(1)采用理想流体模型。对于实际流体，由于流速分布的非均匀性，流体离心力项和科氏力项应在横截面上逐点计算并积分。因此，第二项的系数MU²应修正为(其中ρ为流体密度，u为各点流速，A为横截面管内面积)，而第三项的系数则因被积函数为流速的一次项而仍为MU。

　　定义流体离心力项的流态修正系数

　　对于圆管层流，作者[7]采用抛物线流速分布公式，得到α=1.333。

　　对于圆管紊流，目前采用的流速分布公式有2类：对数律和指数律。采用Prandtl指数分布律得到[7]：

　　其中指数n与Reynolds数Re有关，Barenblatt等[8]给出的具体函数形式为

　　由式(7)和式(8)可得到流态修正系数α随Reynolds数的变化关系，如图1中(横坐标采用对数坐标表示)实线所示。在对数律中，目前广泛采用的是vonKármán-Prandtl公式[9]：

　　其中：u*为摩擦速度，y为流体质点到壁面的距离，ν为流体的运动粘度，参数κ和B为常数：κ≈0.41、B≈5.0。式(9)适用于光滑壁面，对于粗糙壁面，粘度ν应替换为等效粘度νe[10]：

　　其中ε表示管壁颗粒直径。

　　对于圆管，通过式(9)可将任一点流速u用最大流速umax(管道中心线y=R处)表示为

　　式(9)和式(11)仅适用于紊流区。由于贴近壁面的粘性层和过渡层的总厚度δ很薄，其中流速很小，在该区域的积分可忽略不计。于是：