天文望远镜传动直齿轮齿廓修形设计

　　引言

　　天文望远镜对传动平滑性要求很高,其指向精度一般取±1″~±2″,精确跟踪精度要求每分钟之内的误差不大于0.1″,在8分钟之内的误差不大于0.2″,对传动机构和控制系统提出了极高的要求[1]。天文望远镜运动速度极低,当整机锁转频率足够高时,可看作准静态过程,齿轮传动误差用静传动误差衡量。采用齿轮机构驱动望远镜时,常规渐开线齿轮由于齿距误差或者基节误差的存在,以及单双对齿啮合过渡时承载变形的突变都会产生变化剧烈的静传动误差[2],齿距误差还会导致齿顶刮行,产生过大的集中应力。通过齿廓修形,可以改善静传动误差曲线,并且消除刮行现象。我们以变位齿轮为对象,以具备一定的重合度、改善静传动误差[3]以及消除齿顶刮行现象为目的,采用高次幂,短修形方式设计望远镜传动直齿轮。设计过程中,考虑齿轮的齿距误差,基于轮齿接触分析(TCA)理论[4][5]1337-1341,综合承载变形,给出了详细设计求解过程。

　　1　齿廓建模

　　1.1　齿高修形参数定义

　　考虑主动轮的修形设计。主动轮的修形齿廓通过标准渐开线从动轮,依据空载设计传动误差曲线(如图1所示)给定的传动位置和速比关系与主动轮啮合而成。按轮齿齿条加工过程,求解从动轮的齿廓向量方程rw,根据轮齿啮合条件,法向与相对速度向量点积为零,即nv=0,求解主动轮的齿高修形齿廓向量方程rph。

　　图1所示传动误差曲线为直线段与两对称的幂函数线段相切组合而成。1为主动轮转角,Δ2为从动轮实际转角与理论转角之差,θ0为单对齿啮合段中点处啮合对应的转角,θ1、θ2为图示切点对应的转角,T为啮合周期2π/z1,z1为主动轮齿数,e表示传动误差。空载传动误差曲线可以表达为式(1)

　　定义θ1、a、b为齿高修形参数。θ1确定修形始点,a、b确定修形曲线形状。

　　1.2　全局坐标系下含齿距误差的齿廓建模记绕Z轴旋转和沿X轴移动后的坐标变换矩阵分别为R(0), Tr(S)，如下：

　　计初始齿为第1齿,主动轮含累积齿距弧度误差为γip的第i+1齿廓向量的变换矩阵为:Rz[-(2πi/z1+γip)];从动轮含累积齿距弧度误差为γiw的第i+1齿廓向量的变换矩阵为:Rz[-(2πi/z2+γiw)][5]1332-1333,其中,z2为从动轮齿数。

　　不计其它误差的情况下,全局坐标系Sq下啮合,如图2所示,啮合点为M,通过坐标变换从、主动轮第i+1齿廓在全局坐标系下的向量描述为

　　式中,vw、1、θ、a、b分别为齿廓描述参数;w、p分别全局坐标系下从、主动轮转角。

　　2　齿廓修形设计