一种基于正则参数的表面温度测量方法

　　0　引言

　　在淬火工艺过程中,冷却过程的不同将造成工件特性的很大差异,因此需要控制工件的冷却过程。淬火油是常用的冷却介质,通过改变添加剂的比例可以调整淬火油的冷却特性。为了对淬火油的冷却特性进行测试,通常将加热到一定温度的淬火测试探头放入淬火油中,记录其温度变化的曲线,从而了解冷却介质的冷却特性。但探头中心的热电偶所测的温度并非是淬火油的温度,探头表面的温度更加接近淬火油的温度。然而直接测量探头表面的温度在技术上是非常困难的。通过探头中心热电偶所测量到的温度数据,反演探头表面的温度,这是一个典型的边值传热反问题[1]。传热反问题的求解无论是分析解还是数值解要比正问题困难得多。在正问题中,测量误差在数值计算过程中会被衰减,这是由传热过程的扩散特性决定的。而反问题是通过内部测点的温度测量数据反演边界上的温度,内点测量误差会被外推、积累放大,因此反问题被称为“误差放大器”。所以反问题的数值计算必须加以修正才能得到稳定的结果。正则化算法[2]是一种求解传热反问题比较理想的数值方法。

　　1　正则化测温模型

　　工程上常用的淬火测试探头是国际热处理学会推荐的Wolfson标准探头,它是一个直径为12. 5mm、长60mm的圆柱形探头,其中心装有测温热电偶,用于记录探头在淬火油中的冷却过程中的温度及冷却速度变化,如图1所示。

　　为了能够更加准确地研究淬火油的冷却特性,在已知探头中心温度变化数据的情况下计算探头表面的温度变化,是一个一维非稳态的导热反问题,其数学模型为

　　式中:T是温度; t是时间; tmax为过程的持续时间;R为圆柱体探头的半径;Φ(t)为探头内热电偶所测得的温度数据,即反问题的实测条件。通过式(1)的反问题数学模型可估算探头表面的温度变化Tw(t)。

　　但是由于反问题在数学上的不适定性,使得方程组(1)的数值解对测量误差极其敏感,直接求解方程组(1)往往会导致解的不稳定。为此,我们根据Tikhonov的正则化算法引入正则参数,用以下的扰动问题替代原数学模型:

　　这里,方程组(2)中的第四个方程是一个扰动的边界条件,称为非局部边界条件,由实际测量的输入数据T(0, t)加上一个小的输出扰动αT(R, t)组成,α就是正则参数。当温度T(0, t)不准确时,自然地在r=0处边界条件要受到一个微扰,以确保数值解的稳定。值得注意的是正则参数不能任意确定,其选择不仅要使不适定问题的近似解稳定,而且要满足相对于测量误差的精度要求。以上方法得到的温度值Tw作为原来问题的近似解。