一种微机械有限元仿真的多重网格预处理方法

　　随着现代科学技术的发展，不断研发更复杂的精密机械设备，越来越要求我们在设计阶段就能精确地预测出产品或工程的技术性能，因此需对结构的静、动力强度以及温度场，流场，电磁场等技术参数进行分析计算。为了在工程应用中节约成本、提高设计效率，需为处理相应问题对应的矩阵求逆运算和求特征值运算开发出合适的算法。

　　本文试通过讨论二维成形结构模态分析中矩阵特征值问题的简化，为常规MEMS 结构矩阵特征值和矩阵求逆问题简化提供一些参考[1]。用自适应有限元法分析结构动力学问题时，有限元网格经常会发生变化，若用传统的有限元方法(如子空间迭代法)去分析自适应过程则存在一定的缺陷，因为传统的有限元方法包含的两个过程(即离散过程和数值求解过程) 是相互独立的，两者无相互作用，这就造成了很大的浪费：① 没有充分利用初始网格下的结果;② 当网格逐步加密时，传统有限元法的计算量会很快增大，当网格很多，自由度数很大时，计算量会更大，但收敛效果不一定好，这种缺陷对于动力问题特别是求特征值的模态分析问题会更明显。尽管目前对于特征值问题发展了一些有效的算法，如Lanczos方法、Arnoldi 方法等，以上的缺陷仍然存在[2]。对于特征值问题而言，多重网格法弥补了传统有限元法的不足，可简化计算过程，节省计算量。目前，多重网格技术已可应用于实际工程问题，商用软件也已出现，已有线性和非线性多重网格解偏微分方程的高效方法。用多重网格法求解特征值问题也引起广泛关注[3]。

　　多重网格方法求解特征值问题一般有三种思路：

　　① 将此问题转换成非线性问题，然后利用非线性多重网格求解器， 如“ 全近似方法” (fullapproximation scheme)进行求解。这对非线性问题通常有效;但对线性特征值问题，由于它没有充分利用特征值问题的一些特性又有些特殊处理，又使程序复杂化了。此外，对粗网格解的近似程度要求较高。

　　② 采用一个外部特征值求解器，如Rayleigh 代(RQI) 。求解一个移位的刚度矩阵构成的线性方程组，而多重网格迭代则作为一个内部迭代求解器，从而构成一个内-外迭代过程。使用移位的刚度矩阵的目的主要是使外部迭代过程具有快的收敛性，但由多重网格迭代求解的线性方程组有时几乎是奇异的。与此类似的技术如经典的逆迭代(通常是逆子空间迭代)作为外部求解器，而多重网格迭代仍作为内部迭代求解器。这种逆迭代技术的收敛性要比上面提到的移位的迭代法的收敛性要慢，但不会遇到求解近乎奇异的线性方程组的麻烦。