扇束CT中短扫描方式下数据重排技术的研究与实现

　　在二维 CT 系统中存在平行扫描和扇束扫描两种扫描模式，而基于平行光投影的重建算法最为简单，运算量最小，但是扫描时间长，仅在第一代 CT 中得到应用。然而基于平行投影的重建算法却是之后的扇束及锥束三维重建算法的基础，它们的核心算法都是滤波反投影(Filtered Backprojection，FBP)，该算法由于其易于理解、便于实现、重建效果好，

　　在目前 CT 中广泛使用。本文首先分别介绍二维 CT 中这两种不同扫描方式下的重建算法原理，然后分别给出实现方法。在实现过程中，可以看出平行方式的反投影重建比扇束方式的反投影重建要简洁得多，随后从中找到二者投影地址在几何上的联系，设法将扇束投影数据进行重排，获得模拟的平行投影数据。在重排过程中，发现存在大量的冗余数据，由此可以采用一种短扫描方式获取投影，这样不仅扫描时间缩短，重建速度也大大提高。

　　1 平行投影重建算法

　　在理想情况下，投影是物体的某种参数沿着透过物体直线的积分[1]。将被测物体表示成二维函数 f(x,y)，通过该物体的一条射线 AB 的直线方程是： t = x cos θ + ysinθ，见图 1，其中 t 是原点到射线的垂直距离，θ是垂线与 x 轴的夹角，通常认为是射线的角度参数，(t,θ)可以唯一确定一条射线。沿着 AB 的线积分为：

　　这就是成像的理论依据 Radon 变换。t-s 分别是 x-y 轴旋转角度θ后的新坐标。它们具有如下变换关系:

　　当一条射线透过物体时，P(t,θ)即是在θ角度下的投影值。一个投影由角度相同的一组投影值组成，在产生平行束投影的过程中，射线源与检测器沿着被测物体长度方向进行直线型运动，然后以一定间隔角度旋转直到一周 360°，一个截面扫描完毕后射线源与检测器移动到下一个截面再进行同样的扫描，直到将所有截面扫描完毕[2]。

　　点发射源 S 可以发射扇形射线束，而物体的另一端有一组探测器来同时收集数据。射线源和一组探测器共同旋转产生所需要的扇形投影数据。探测器小条排列成弧形，则各个单元的角度采样间隔是相等的，形成等角度抽样扇形投影;排列成直线，则在直线上的采样间隔距离是相等的，形成等距离抽样扇形投影，二者的几何表达有所不同，但是基于平行投影的算法推导过程是一样的，以下仅介绍等角度抽样的扇形重建算法[1]。

　　我们将 Rβ(γ)表示扇形束的投影，β 是光源的旋转角度，γ是其中的射线与扇束中线的偏转角，(β,γ)可唯一确定射线的位置。